Тема: Предмет теории вероятностей. События. Вероятность события.

I.План занятия

По дисциплине «Математика»

Специальность «Пекари» для студентов 2 курса П-14 группы

Дата проведения:

Тема: Предмет теории вероятностей. События. Вероятность события.

Эпиграф урока: «Можно и нужно для задач брать примеры из окружающей

жизни»

Цели:

1.Углубление и систематизирование знаний по теме «Теория вероятности»

2.Продолжить развитие умения действовать самостоятельно, планировать и реализовывать свою деятельность, вести контроль и самоконтроль.

3.Продолжить формирование стремление к глубокому усвоению изучаемого материала.

Задачи:

- Способствовать запоминанию основной терминологии, умению устанавливать события вероятности;

- формировать умение упорядочить полученные знания для рационального применения;

- развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;

формирование вероятностного мышления;

- способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

Время: 1 час

Тип урока: Комбинированный

2. Методика проведения занятия.

2.1. Организационно — психологический момент. Мотивация.

2.1.1. Сообщение темы и целей урока.

Педагог приветствует студентов. Говорит, что сегодня они познакомятся c основными понятиями теории вероятностей, и рассмотрят, в каких областях применяется теория вероятностей.

2.1.2.Сообщение: Теория вероятности в жизни (историческая справка).

Как наука теория вероятностей зародилась в 17-ом веке. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называются те игры (карты, домино и т.п.), в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Риск, играющий важную роль в этих играх, и приводит участников в необычайное состояние сильного увлечения и горячности. Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян.

2.2. Объяснение нового материала.

Данная тема имеет широкий спектр межпредметных связей: медицина, азартные игры, промышленности, механика и другие науки.

Если космос располагает безграничным запасом времени, это не просто означает, что может произойти все, что угодно. Это означает, что все когда-нибудь действительно произойдет.

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Когда речь идет о соблюдении комплекса условий данного испытания, имеется в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться при данном испытании. Любое из этих явлений называется в теории вероятностей событием.

События делятся на:

Здесь предполагаем, что испытание может быть повторено неограниченное (по крайней мере, теоретически) число раз. Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо — событие.

Другим примером события, часто приводимым в учебниках по теории вероятностей, является выпадение определенного числа очков (от 1 до 6) при бросании игральной кости. Тогда примером случайного события может служить выпадение на игральной кости 1 или 2 очков; примером достоверного события может служить выпадение на игральной кости количества очков, меньшего 7; примером невозможного события может служить выпадение на одной игральной кости 10 очков.

События в теории вероятностей обозначают начальными прописными латинскими буквами А, В, С, ...

Случайные события называются несовместными, если появление одного исключает появление другого. Например, промах при стрельбе по мишени уже исключает попадание по цели. В противном случае они называются совместными. Например, «Идет дождь» и «Идет снег», оба действия могут происходить одновременно и не исключают появления друг друга.

Если, по условиям испытания нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными. Например, при бросании монетки шансы выпадения орла и шансы выпадения решки одинаковы, а вот то, что монетка встанет на ребро, уже менее вероятно, поэтому выпадение орла или решки при бросании монетки – равновозможные события.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Например, два продавца независимо друг от друга обсуживают покупателей.

Вероятность р какого-либо события – численное выражение возможности его наступления, причем оценивается от нуля (вероятность невозможного события) до единицы (вероятность достоверного события): .

Итак, исходя из определений невозможного и достоверного событий, понятно, что вероятность невозможного события равна 0 (0%), а вероятность достоверного события равна 1 (100 %). Сложнее обстоят дела с определением вероятности случайного события.

Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:

Данная формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

3. Закрепление (обобщение и систематизация изученного материала)

Рассмотрим задачи на с применением классического определения вероятностей

Приведем пример нахождения вероятности случайного события по данной формуле. Допустим, нам нужно определить вероятность того, что из колоды в 36 карт вытянут туза. Всего в колоде 36 карт, то есть число всех равновозможных исходов n=36. Благоприятных для данного события исходов (то есть нужных нам карт – тузов) m=4. Подставив в формулу получим вероятность 4/36=1/9.

1. В компьютерном классе имеют выход на сайт «В Контакте» 2 компьютера (всего компьютеров 11). Какова вероятность того, что Вы сможете выйти на данный сайт со своего учебного компьютера?

2. Из колоды карт наугад выбирают 2 карты. Какова вероятность того, что обе карты будут тузами?

3. Вы забыли последнюю цифру номера, который набираете, только помните, что она четная. Найдите вероятность того, что вы дозвонитесь по правильному номеру.

4. В коробке 10 книг: 3 с белыми и 7 с черными обложками. Из коробки случайным образом вынимают сразу 2 книги. Какова вероятность того, что обе книги окажутся с белыми обложками?

5. В группе 12 юношей и 8 девушек. По журналу наудачу отобрано 5 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов ровно 3 девушек.

6. Карточка «Спортлото» содержит 36 чисел. В тираже участвуют 5 чисел. Какова вероятность того, что верно будет угадано 4 числа?

Примерами случайных событий являются: соотношение курсов валют; доходность акций; цена реализованной продукции; стоимость выполнения больших проектов; продолжительность жизни человека; броуновское движение частиц, как результат их взаимных соударений и многое другое. Случайность и потребность в консолидации усилий по борьбе со стихией (природы, рынка и т.д.), точнее создание структур для возмещения неожиданного ущерба за счет взносов всех участников, породила теорию и институты страхования. При этом интуитивно ясно, Что случайные явления, происходящие даже с однотипными объектами, могут качественно отличаться друг от друга.

Например, продолжительности жизни в разных странах и в разные эпохи могут принципиально отличаться друг от друга. Первобытные люди жили около 30-40 лет, даже в России за последние годы она подвергается значительным изменениям, то

поднималась до 70 лет, затем начала значительно падать, более того, она различается на 10-15 лет для мужчин и женщин.

Не состоятельно было бы думать, что какие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. Позднее,с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные.

Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном». На многих примерах можно убедиться в том, что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека. Например: суммы, выручаемые от реализации товаров на рынке, во многом диктуются случаем - от платежеспособного спроса населения до поведения конкурентов и умения привлечь клиентов.

Задачи на классическое определение вероятности.

1. Студент знает ответы на 20 теоретических вопросов из 30 и может решить 30 задач из 50предлагаемых на зачете. Какова вероятность того, что студент полностью ответит на билет, который состоит из двух теоретических вопросов и одной задачи?

2. Ответ: Р(А)=0,23

Домашнее задание: Сочинение на тему: «Теория вероятности в нашей жизни»

Итоги занятия
Т.о., можно с уверенностью сказать, что наш мир полон случайностей, но построен на закономерностях. Даже зарождение цивилизации, рождение людей – случайные события, но в то же время видимо так должно было случиться. И мы должны быть благодарны судьбе за это, и шанс, данный нам природой, родителями, а может и Богом, мы должны реализовать в полной мере.
“По моему убеждению – писал великий Блез Паскаль – человек родился, чтобы думать. Способность мыслить отличает его от животных, в этом состоит его человеческое достоинство.…Впрочем, меня интересует, не вопрос существую ли я, а кто я, собственно есть. Мы не знаем, откуда мы взялись, зачем родились и куда идем. Человечеству есть над, чем поразмыслить”.
Задумывались ли вы над этим когда-нибудь? Если после нашего урока вы задали себе этот вопрос, значит, не напрасно мы с вами встретились и говорили сегодня об этом. А теперь заполните листы настроений (заполнение листов настроения).
Вот и закончился наш урок математики. Какая все-таки удивительная наука, и прав был Ломоносов, утверждая: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

- Доктор, - спрашивает пациент – пойдут ли у меня дела на поправку?

- Несомненно, - отвечает врач, - потому что статистика говорит, что один из ста выздоравливает при этой болезни.

- Но почему же при этом именно я должен выздороветь?

- Потому что вы как раз и есть мой сотый пациент.

Заключение

Данная методика проведения урока коллоквиума помогает реализовывать поставленные цели и задачи:

• Прививать положительное отношение к знаниям;

• Развивать контроль и самоконтроль;

• Обобщать и систематизировать знания по разделу «Теория вероятности в жизни»

• Обрабатывать вычислительные навыки при решении задач;

• Активизировать умственную деятельность на протяжении всего урока;

• Прививать интерес к дисциплине;

• Пополнять словарный запас.

Литература.

1. В.Е.Гмурман. «Теория вероятностей и математическая статистика».

2. В.Е.Гмурман. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике».

3. Ю.Н.Тюрин и другие. «Теория вероятностей и статистики». МЦНМО АО «Московские учебники», М., 2004.

4. Ю.Н.Тюрин и другие. Методическое пособие для учителей. МЦНМО МИОО, м., 2005.

Урок по теме "Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения"

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение

в том или ином деле.

(А.Н. Крылов) 

Цели занятия.

Образовательные:

• познакомить обучающихся с новым разделом математики: "Комбинаторика", основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;

Развивающие:

• развивать умения решать комбинаторные задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, практических навыков и умений, аналитические способности, логическое мышление,

Воспитывающая:

• формировать активность личности обучающегося, умение работать в группе

• показать, что решения комбинаторных задач возникли из практических потребностей человека.

Ход занятия

1. Организационный момент.

2. Какой смайлик 
   соответствует твоему настроению на начало урока?

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Задачи такого типа называются комбинаторными.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Области применения комбинаторики:
-учебные заведения ( составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-военное дело (расположение подразделений)

Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.

Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Комбинаторные задачи делятся на несколько групп.

1. Сообщение новых знаний.

1. Задача:

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

abc acb

bac bca

cab cba ответ:6

Это задача на перестановки

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1

Pn = n!

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Факториалы растут удивительно быстро.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n! 1 4 6 24 120 720 5040 40 320 362 880 3 628800

Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

Задача.

Квартет

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

1. Задача. У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Это размещения .

Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Задача. СТУДЕНТЫ класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

A 94 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

1. Задача. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123 124 125 134 135 145

234 235 245

345 ответ: 10

Это сочетания .

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Задача. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

C₇² = = 21

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»

Закрепление темы.

1. Тест по комбинаторики ( 8 обучающихся выполняют тест на компьютере, остальные на бумаге, взаимопроверка)

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

№ задания 1 2 3

№ ответа 3 2 4

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600

№ задания 1 2 3

№ ответа 4 1 2

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

№ задания 1 2 3

№ ответа 1 2 4

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

1) 455 2) 45 3) 475 4) 18

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600 2) 100 3) 300 4)720

№ задания 1 2 3

№ ответа 2 1 4

Вывод:

Комбинаторика повсюду.

Комбинаторика везде.

Комбинаторика вокруг нас.

VI. Д/з:

 1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

4. Проект «История комбинаторики»

VII.Итог, рефлексия.

Определи своё настроение в конце урока

Литература

1. Алгебра: учеб. для 7 класса общеобразоват. учреждений (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева) под ред. Г.В. Дорофеева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2006.

2. Евстафьева Л.П., Карп А.П. Алгебра: дидактические материалы для 7 класса общеобразовательных учреждений. М. Просвещение, 2006 (стр.65, О - 30, стр.131, П – 49).

3. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей, Алгебра 7-9.