Тема урока: Понятие первообразной функции.

Группа 1-3

Предмет: Математика

Преподаватель: Амирханова А. К.

Тема урока: Понятие первообразной функции.

       Прежде чем знакомиться с понятием первообразной, давайте в самых общих чертах вспомним самую обычную производную. Не углубляясь в занудную теорию пределов, приращений аргумента и прочего, можно сказать, что нахождение производной (или дифференцирование) — это просто математическая операция над функцией. И всё. Берётся любая функция (допустим, f(x) = x²) и по определённым правилам преобразовывается, превращаясь в новую функцию. И вот эта самая новая функция и называется производной.

        В нашем случае, до дифференцирования была функция f(x) = x², а после дифференцирования стала уже другая функция f’(x) = 2x.

        Производная — потому, что наша новая функция f’(x) = 2x произошла от функции f(x) = x². В результате операции дифференцирования. И причём именно от неё, а не от какой-то другой функции (x³, например).

        Грубо говоря, f(x) = x² — это мама, а f’(x) = 2x — её любимая дочка.) Это понятно. Идём дальше.

        Математики — народ неугомонный. На каждое своё действие стремятся найти противодействие. :) Есть сложение — есть и вычитание. Есть умножение — есть и деление. Возведение в степень — извлечение корня. Синус — арксинус. Точно также есть дифференцирование – значит, есть и… интегрирование.)

        А теперь поставим такую интересную задачу. Есть у нас, допустим, такая простенькая функция f(x) = 1. И нам надо ответить на такой вопрос:

        Производная КАКОЙ функции даёт нам функцию f(x) = 1?

        Иными словами, видя дочку, с помощью анализа ДНК, вычислить, кто же её мамаша. :) Так от какой же исходной функции (назовём её F(x)) произошла наша производная функция f(x) = 1? Или, в математической форме, для какой функции F(x) выполняется равенство: 

        F’(x) = f(x) = 1?

        Пример элементарный. Я старался.) Просто подбираем функцию F(x) так, чтобы равенство сработало. :) Ну как, подобрали? Да, конечно! F(x) = x. Потому, что:

        F’(x) = x’ = 1 = f(x).

        Разумеется, найденную мамочку F(x) = x надо как-то назвать, да.) Знакомьтесь!

        Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), т.е. для которой справедливо равенство F’(x) = f(x).

        Вот и всё. Больше никаких научных хитростей. В строгом определении добавляется ещё дополнительная фраза "на промежутке Х". Но мы пока в эти тонкости углубляться не будем, ибо наша первоочередная задача — научиться находить эти самые первообразные.

        В нашем случае как раз и получается, что функция F(x) = x является первообразной для функции f(x) = 1.

        Почему? Потому что F’(x) = f(x) = 1. Производная икса есть единица. Возражений нет.)

        Термин "первообразная" по-обывательски означает "родоначальница", "родитель", "предок". Сразу же вспоминаем самого родного и близкого человека.) А сам поиск первообразной — это восстановление исходной функции по известной её производной. Иными словами, это действие, обратное дифференцированию. И всё! Сам же этот увлекательный процесс тоже называется вполне научно — интегрирование. Но об интегралах — позже. Терпение, друзья!)

        Запоминаем: 

        Интегрирование — это математическая операция над функцией (как и дифференцирование).

        Интегрирование — операция, обратная дифференцированию.

        Первообразная — результат интегрирования.

        А теперь усложним задачу. Найдём теперь первообразную для функции f(x) = x. То есть, найдём такую функцию F(x), чтобы её производная равнялась бы иксу:

        F’(x) = x

        Кто дружит с производными, тому, возможно, на ум придёт что-то типа:

        (x²)’ = 2x.

        Что ж, респект и уважуха тем, кто помнит таблицу производных!) Верно. Но есть одна проблемка. Наша исходная функция f(x) = x, а (x²)’ = 2x. Два икс. А у нас после дифференцирования должен получиться просто икс. Не катит. Но…

        Мы с вами народ учёный. Аттестаты получили.) И со школы знаем, что обе части любого равенства можно умножать и делить на одно и то же число (кроме нуля, разумеется)! Так уж тождественные преобразования устроены. Вот и реализуем эту возможность себе во благо.)

        Мы ведь хотим, чтобы справа остался чистый икс, верно? А двойка мешает… Вот и берём соотношение для производной (x²)’ = 2x и делим обе его части на эту самую двойку:

        Так, уже кое-чего проясняется. Идём дальше. Мы знаем, что любую константу можно вынести за знак производной. Вот так:

        Все формулы в математике работают как слева направо, так и наоборот — справа налево. Это значит, что, с тем же успехом, любую константу можно и внести под знак производной:

        В нашем случае спрячем двойку в знаменателе (или, что то же самое, коэффициент 1/2) под знак производной:

        А теперь внимательно присмотримся к нашей записи. Что мы видим? Мы видим равенство, гласящее, что производная от чего-то (это что-то — в скобочках) равняется иксу.         

        Полученное равенство как раз и означает, что искомой первообразной для функции f(x) = x служит функция F(x) = x²/2. Та, что стоит в скобочках под штрихом. Прямо по смыслу первообразной.) Что ж, проверим результат. Найдём производную:

        Отлично! Получена исходная функция f(x) = x. От чего плясали, к тому и вернулись. Это значит, что наша первообразная найдена верно.)

        А если f(x) = x²? Чему равна её первообразная? Не вопрос! Мы с вами знаем (опять же, из правил дифференцирования), что:

        3x² = (x³)’

        И, стало быть,

        Уловили? Теперь мы, незаметно для себя, научились считать первообразные для любой степенной функции f(x)=xⁿ. В уме.) Берём исходный показатель n, увеличиваем его на единичку, а в качестве компенсации делим всю конструкцию на n+1:

        Полученная формулка, между прочим, справедлива не только для натурального показателя степени n, но и для любого другого — отрицательного, дробного. Это позволяет легко находить первообразные от простеньких дробей и корней.

        Например:

        Естественно, n ≠ -1 , иначе в знаменателе формулы получается ноль, и формула теряет смысл.) Про этот особый случай n = -1 чуть позже.)