Тема: «Применение интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции

План урока

Предмет: математика

Преподаватель: Амирханова А. К.

Дата проведения: 01.10.2021

Методический материал

по проведению открытого урока

по математике

Тема: «Применение интеграла для нахождения площади криволинейной

трапеции»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

«Единственный путь, ведущий к знанию, – это деятельность» Б.Шоу

Урок по теме «Площадь криволинейной трапеции»изучается в конце раздела «Интегрирование», после темы «Определенный интеграл» и является ее логическим продолжением. Для освоения данной темы студенты должны хорошо владеть понятием «Определенный интеграл» и уметь находиться его, используя формулу Ньютона-Лейбница. После темы «Площадь криволинейной трапеции» изучается тема «Объемы тел», которая является заключительной в данном разделе.

Цели урока:

1. Образовательные:

а) закрепить навыки нахождения определенного интеграла;

б) обеспечить усвоение студентами понятия «криволинейная трапеция» и различных способов нахождения площади криволинейной трапеции;

в) отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции путем вычитания площадей.

2. Развивающие:

а) развитие психических качеств студентов (умений применять полученные знания на практике);

б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).

3. Воспитательные:

а) воспитание положительного отношения к знаниям;

б) воспитание дисциплинированности;

в) воспитание эстетических взглядов.

Тип урока: комбинированный.

План урока:

- машинный программированный контроль;

- фронтальный опрос;

- практический метод.

10 мин

3. Формирование новых знаний и способов действий

- продуктивный метод;

- практический метод.

10 мин

4. Применение знаний, формирование умений

- практический метод

20 мин

5. Подведение итогов урока.

Задание на дом

3 мин

ПРОЕКТ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

комбинированный

Цели обучающегося:

а) закрепить навыки нахождения определенного интеграла;

б) усвоить понятие «криволинейная трапеция»;

в) усвоить различные способы нахождения площади криволинейной трапеции;

г) отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.

Этапы учебного занятия:

Деятельность педагога

Деятельность обучающегося

I.Самоопределение к деятельности (оргмомент)

Проверяет готовность обучающихся к уроку; отмечает отсутствующих;

формулирует тему и цели урока

Готовятся к восприятию материала

II. Актуализация опорных знаний

Обеспечивает повторение знаний и умений, полученных на предыдущих уроках:

1. компьютерный тест - вопросы прилагаются;

2. Вопросы:

1). Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница.

2) Вычислите интеграл (задание на интерактивной доске ИД).

3) Сформулируйте определение определенного интеграла.

4) Вычислите интеграл (задание на интерактивной доске ИД)

Историческая справка. (слайд 1)

5) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

1. компьютерное тестирование – 10 чел.

2. фронтальный опрос с решением примеров – 3 чел.

1) 

2) Решают пример на ИД.

3) Приращение F(b)-F(a) любой из первообразных функций F(x) + C при изменении аргумента от х=а до х=b называется определенным интегралом от а до b функции f(x):  .

4) Решают пример на ИД.

Рассказывает историческую справку.

5) Определенный интеграл – это площадь фигуры, сверху ограниченной графиком функции f(x), снизу - осью абсцисс, по бокам - прямыми х=а и х=b.

III. «Открытие» новых знаний

1) Формулирует тему урока

(слайд 2)

Записывают тему урока в тетрадях.

2)Формулирует определение криволинейной трапеции (слайд 3)

Делают чертеж и записывают определение в тетрадях.

3) Записывает формулу площади криволинейной трапеции (слайд4)

5) Приводит способы нахождения площадей различных фигур (слайды 5,6,7.8,9,10)

Записывают формулу в тетрадях.

Отвечают на поставленные вопросы.

Записывают в тетрадях.

IV. Применение знаний, формирование умений

1) Решает пример на ИД (15.ехе, практика, задача 2)

Записывают решение в тетрадях.

2) Руководит решением примеров на ИД (15.ехе. практика, задача1)

(16.ехе, задача 3)

Решают примеры на ИД и записывают их в тетрадях.

3) Контролирует написание самостоятельной работы.

На выданных листах решают дифференцированную самостоятельную работу.

V. Подведение итогов.

Д/задание.

Выставление оценок.

Домашнее задание: гл.13, §1, №12,13

Записывают домашнее задание в тетрадях.

Список

учебных

элементов

содержания

№

Название учебного элемента

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Интеграл

Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница

Геометрический смысл определенного интеграла

Криволинейная трапеция

Площадь криволинейной трапеции

Логическая структура

содержания темы

Методы

обучения

Название

Обоснование

- дедуктивный метод

- практический метод

- способствует быстрому прохождению материала

- эффективно содействует отработке практических умений и навыков

Виды

контроля

- машинный контроль;

- стимулирующий;

- диагностический.

Что контролируется?

- знание понятий: «интеграл», «определенный интеграл», «формула Ньютона-Лейбница», «пределы интегрирования», «подинтегральная функция»; «формула площади криволинейной трапеции»;

- умение находить определенный интеграл;

- навыки применения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции.

Приемы

контроля

- наблюдение;

- устный контроль;

- письменный контроль.

Ожидаемые результаты

Сформированные знания понятия «криволинейная трапеция», формулы площади криволинейной трапеции, способов нахождения площадей различных фигур.

Сформированные навыки применения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции.

Конспект урока

Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

Цели:

1. Воспитательные:

   1. воспитание положительного отношения к знаниям;

   2. воспитание дисциплинированности;

   3. воспитание эстетических взглядов.

2. Развивающие:

   1. развитие психических качеств студентов: мышления, умений применять полученные знания на практике;

   2. развитие познавательных умений (выделять главное, вести коспект);

   3. развитие общетрудовых и политехнических умений;

   4. развитие умений учебного труда (читать, писать);

   5. развитие воли, самостоятельности).

3. Образовательные:

   1. закрепить навыки нахождения определенного интеграла;

   2. добиться усвоения студентами понятия «криволинейная трапеция»;

   3. обеспечить усвоение студентами различных способов нахождения площади криволинейной трапеции;

   4. отработать навыки нахождения площади криволинейной трапеции.

Тип: комбинированный

План урока

I. Самоопределение к деятельности (оргмомент) - 3 мин.

II. Актуализация опорных знаний - 10 мин.

III. «Открытие» новых знаний - 10 мин.

IV. Применение знаний, формирование умений - 20 мин.

V. Подведение итогов, домашнее задание - 2 мин.

ХОД УРОКА:

I. Самоопределение к деятельности

Здравствуйте, садитесь. Дежурный, кто сегодня отсутствует?

Тема нашего урока «Площадь криволинейной трапеции».

Вы знакомы с понятием «определенный интеграл» и научились его вычислять.

Сегодня мы сформулируем понятие «криволинейная трапеция» и научимся вычислять ее площадь с помощью определенного интеграла.

II. Актуализация опорных знаний

Вспомним материал предыдущих уроков по теме «Определенный интеграл».

Для проведения контроля нам необходимо назначить консультанта. Есть желающие? Консультант выставит оценки за тестирование. Напоминаю, оценка «5» ставится за 90-100% правильных ответов, «4» - 70-90%, «3» - 60-70%, «3» - 50-70%, будем надеется, что меньше 50% никто не наберет.

1. Записать формулу Ньютона-Лейбница.

А теперь примени ее для нахождения определенного интеграла.

2. Что такое определенный интеграл?

Здесь тоже фигурирует формула Ньютона-Лейбница. Найди определенный интеграл по этой формуле.

Формула Ньютона-Лейбница… Откуда взялась эта формула. Вам было дано домашнее задание найти историческую справку. Кто нам об этом расскажет? (Историческая справка, слайд 1)

(Консультант выставляет оценки студентам).

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

III. «Открытие» новых знаний

1) И так, определенный интеграл – это площадь фигуры, ограниченной графиком положительной функции f(х), осью абсцисс и прямыми х=а, х=в. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Сегодня мы узнаем, что такое криволинейная трапеция и рассмотрим различные способы нахождения ее площади с помощью определенного интеграла.

Запишите в тетрадях тему урока: «Площадь криволинейной трапеции»

2) Что же такое криволинейная трапеция?

Пусть на отрезке [a; b] оси абсцисс определена функция у=f(х)0. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми х=а, х=b называется криволинейной трапецией (слайд 3). В тетрадях сделайте чертеж и запишите определение.

3) Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции равна:  (слайд 4), где пределы интегрирования – это отрезок [a; b] оси абсцисс, на котором мы рассматриваем трапецию, а подинтегральная функция – та, график которой ограничивает трапецию сверху.

4) Рассмотрим следующие фигуры.

а) (слайд 5). Фигура ограничена графиком функции у=f(x), отрезком [a, в] и прямыми х=а, х=в. Заштрихуйте фигуру, ограниченную этими линиями.

Как можно определить площадь этой фигуры? (Проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [a, в]).

Но эта фигура находится «ниже» оси Ох и вычисляя интеграл мы получим отрицательное значение, чего не может быть при вычислении площади.

Следовательно, площадь равна:  (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 6)

б) (слайд 7). Покажите криволинейную трапецию, ограниченную графиками функций g(x) и f(x).

На каком отрезке рассматривается данная фигура?

Как найти концы этого отрезка? (Концы отрезка – это точки пересечения графиков. Чтобы найти абсциссы этих точек функции надо приравнять).

А как вычислить площадь этой фигуры? (Эта фигура является разностью фигур с площадями S₁ и S₂).

Следовательно, S=S₁–S₂ (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренной фигуры. (слайд 8)

в) (слайд 9). Заштрихуйте фигуру, ограниченную графиками функций g(x) и f(x) и осью абсцисс.

В чем особенность этой фигуры? (Она состоит из двух частей, одна сверху ограничена графиком функции f(x) и рассматривается на отрезке [А,0], другая – графиком g(x) на отрезке[0, В]).

Следовательно, S=S₁+S₂ (прописать).

г) Заштрихуем фигуру, ограниченную графиком функции f(x). Эта фигура состоит из 4-х одинаковых фигур. Если проинтегрировать функцию у=f(x) на отрезке [0; A] и умножить на 4, то получим искомую площадь.

Следовательно, S = 4S₁ (прописать).

Запишите в тетрадях правило нахождения площади рассмотренных фигур. (слайд 10)

IV. Применение знаний, формирование умений

1) А теперь применим полученные знания на практике.

Решим задачу вместе со мной. (15.ехе, практика, задача 2). Для определения площади фигуры построим эту фигуру.

Найдем точки, в которых графики пересекаются, для этого приравняем функции, получаем уравнение х² – 3х = 0. Отсюда следует, что х₁ = 0, х₁ =3.

Графиком функции у = х² – 2х является парабола, ветви вверх, пересекает ось Ох в точках 0 и 2. График функции у = х – прямая. Построим эти графики. Получили ограниченную этими графиками фигуру. Так как сверху фигура ограничена графиком у = х, снизу - у = х² – 2х, то искомая площадь вычисляется как разность интегралов:  , по свойству интегралов получаем:  . Приведем подобные, получаем под-интегральную функцию - х² + 3х. Находим первообразную: - х³ /3 + 3х² /2.

Подставим верхний предел интегрирования:

(прописать)

Я молодец!

2) Посмотрим, как получится у вас.

а)

3) Сегодня мы познакомились с понятием «криволинейная трапеция», узнали, как можно вычислять ее площадь.

А теперь посмотрим, как вы разобрались в этом материале (Самостоятельная работа)

V. Подведение итогов, домашнее задание

Собрать выполненные самостоятельные работы.

Кто выполнял задание на «5», кто – на «4», кто – на «3»? Оценки за самостоятельную работу вы узнаете на следующем уроке, а сегодня на уроке получили оценки:

а) тест – 10 чел.

б) за ответ у доски – 3 чел.

в) за решение примеров - 2 чел.

Д/З:

Дополнительное задание:

Найти в Интернет примеры практического применения вычисления площади криволинейной трапеции

Приложение 2

Вопросы машинного программированного контроля

1. Чему равен нижний предел интегрирования в интеграле 

2. Данный интеграл  равен:

а) 0

б) -4

в) 4

г) 8

1. В данном интеграле  подинтегральная функция равна:

а) 2х

б) dх

в) 0

г) 2

1. Данный интеграл  равен:

а) 1

б) С

в) 0

г) зависит от подинтегральной функции

1. Выражение данного вида   называется:

а) определенный интеграл

б) неопределенный интеграл

в) интегралом функции

г) дифференциалом

6. Определенный интеграл вычисляется с помощью формулы:

а) Лейбница

б) Ньютона

в) Лагранжа

г) Ньютона-Лейбница

7. При перестановке пределов интегрирования в определенном интеграле, интеграл ...

а) не изменится

б) увеличится в 2 раза

в) поменяет знак

г) подинтегральная функция изменится на обратную

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Самостоятельная работа

1. На йдите площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке:

1. Н

y

айдите площадь фигуры, изображенной на рисунке:

0

у = sin x

х

0

1. Н

х

y

айдите площадь фигуры, ограниченной прямой  и параболой 

Оценка «3» ставится за правильное решение задания №1

Оценка «4» ставится за правильное решение задания №2

Оценка «5» ставится за правильное решение задания №3