Свойства функций.

Свойства функций.

Итак, мы познакомились с функцией, узнали, что такое область определения и область значений функции. Теперь рассмотрим свойства функций. Их существует много, однако, изучаются они постепенно. В 9 классе мы знакомимся с нулями функции, промежутками возрастания и убывания (монотонность) и промежутками знакопостоянства и чётностью (нечётностью) функции. Рассмотрим их подробно.

1. Н
   улями функции называются значения независимой переменной (аргумента), при которых значение функции равно нулю. В графической интерпретации нулями функции являются абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс (осью х).

На графике нули функции: .

Для того, чтобы найти нули функции, заданной аналитически, необходимо решить уравнение: . Корни этого уравнения являются нулями функции.

Например, найти нули функции .

или

Значит, нули функции: .

1. Промежутками знакопостоянства функции называются промежутки значений аргумента, на которых значения функции либо только положительны, либо только отрицательны. Другими словами, это те промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Рассматривая график сверху, найдём промежутки знакопостоянства.

1. функция принимает только положительные значения на тех участках графика, где он находится выше оси Ох, т.е. при ;

2. функция принимает только отрицательные значения на тех участках графика, где он находится ниже оси Ох, т.е. при .

Для того, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной аналитически, необходимо решить неравенства: и . Решения этих неравенств и будут промежутками знакопостоянства функции.

Например, найти промежутки знакопостоянства функции .

Это неравенство можно решить двумя способами: с помощью систем неравенств и методом интервалов. Метод интервалов будет рассмотрен нами чуть позже, поэтому воспользуемся системами неравенств. Произведение двух множителей положительно, если эти множители имеют одинаковый знак. Значит, получается совокупность двух систем:

или

Значит, при

Теперь находим промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения.

Произведение двух множителей отрицательно, если эти множители имеют разные знаки, т.е.

или

Значит, при .

1. Чётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции, т.е. . График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).

Нечётной называется функция, если противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, т.е. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

На рисунке слева график чётной функции, на рисунке справа – нечётной функции.

Для того, чтобы определить чётность функции, заданной аналитически, необходимо в заданную функцию вместо х подставить –х и произвести упрощение. Если в результате получится функция, равная заданной, то функция чётная; если получится функция, противоположная заданной, то она нечётная; если не получится ни один из предложенных вариантов, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Например, исследовать на чётность функцию .

Находим значение этой функции при противоположном значении х, т.е.

.

Полученное выражение не совпадает с заданным и не противоположно ему, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной. Её график не симметричен относительно оси Оу и не симметричен относительно начала координат.

Приведём ещё один пример: .

.

После упрощения получили выражение, полностью совпадающее с заданным. Значит, функция является чётной и её график симметричен относительно начала координат.

1. Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), т.е. если при , то функция возрастающая.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции (или меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции), т.е. если при , то функция убывающая.

Для примера рассмотрим графики на рисунках выше.

Синий график: функция возрастает при

функция убывает при

Зелёный график: функция возрастает при

функция убывает при

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Если функция задана аналитически, то нахождение промежутков монотонности является более сложным процессом и он изучается в 11 классе. Мы ограничимся определением этих промежутков по графикам.

1. Наибольшим значением функции называется самое большое значение функции по сравнению со всеми остальными.

Наименьшим значением функции называется самое маленькое значение функции по сравнению со всеми остальными.

Строгое определение наибольшего и наименьшего значения функции будет дано в старших классах.

На синем графике наибольшего значения нет, т.к. график бесконечен в положительном направлении оси Оу. А наименьшее значение равно . Записывается это так: .

На зелёном графике нет ни наибольшего, ни наименьшего значения функции.

1. На рисунках изображены части графиков нечётных функций. Достройте эти графики.

1. Какая из данных функций является чётной, а какая – нечётной:

Приведите необходимые обоснования.

1. Докажите, что – чётная функция, а – нечётная, если:

1. Является ли чётной или нечётной функция , если:

1. Н а рисунках изображены части графиков чётных функций. Достройте эти графики.

1. Постройте график функции , зная, что при её значения могут быть найдены по формуле:

1. Известно, что функция – чётная и она обращается в нуль при и . Укажите другие значения аргумента, при которых .

1. Известно, что функция – чётная и она принимает значения, равные нулю, при и . Укажите другие значения аргумента, при которых .

1. Известно, что уравнение , где – нечётная функция с областью определения , имеет положительные корни и . Найдите неположительные корни уравнения.

1. Известно, что уравнение , где – нечётная функция с областью определения , имеет положительные корни и . Найдите неположительные корни уравнения.

1. Линейная функция является нечётной. Найдите значение .

1. Функция , где – некоторое число, является чётной. Найдите значение .

1. Известно, что и – нечётные функции. Верно ли утверждение, что нечётной является функция , если:

2. Известно, что и – нечётные функции. Верно ли утверждение, что чётной является функция , если:

3. Представьте каким-либо способом функцию в виде суммы чётной и нечётной функций, если:

1. Функция , область определения которой – промежуток , задана графиком на рисунке. Укажите промежутки, на которых эта функция возрастает и на которых убывает.

1. Функция , область определения которой – промежуток , задана графиком на рисунке. Укажите промежутки, на которых эта функция возрастает и на которых убывает.

1. Какая из линейных функций и является возрастающей, убывающей и почему?

1. Докажите, что функция является убывающей на промежутке и возрастающей на промежутке .

1. Докажите, что функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке .

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функций .

1. Определите характер монотонности функций и . Докажите, что функция возрастающая, а функция - убывающая.

1. Известно, что функция является монотонной и что уравнение имеет корень, равный . Имеет ли это уравнение другие корни?

1. Известно, что уравнение , где – монотонная функция, имеет корень, равный . Имеет ли это уравнение другие корни?

1. Известно, что функция возрастает на промежутке . При каких значениях, принадлежащих этому промежутку, верно неравенство:

2. Известно, что функция убывает на промежутке . При каких значениях, принадлежащих этому промежутку, верно неравенство:

3. Известно, что функции и – убывающие. Является ли убывающей функция , если:

4. Известно, что функции и – возрастающие. Является ли возрастающей функция , если:

5. Известно, что функция определена на множестве и возрастает на промежутке , где . Как изменяется эта функция на промежутке , если:

   – функция чётная;

   – функция нечётная?

6. Известно, что функция определена на множестве и убывает на промежутке , где . Как изменяется эта функция на промежутке , если:

   – функция чётная;

   – функция нечётная?

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

   ;
   ;

8. Укажите значение аргумента, при котором функция принимает наименьшее значение. Существует ли наибольшее значение этой функции?

1. Укажите значение аргумента, при котором функция принимает наибольшее значение. Существует ли наименьшее значение этой функции?

1. Найдите область определения функции:

1. Найдите нули функции и области положительных и отрицательных значений, если:

1. Изобразите схематически график функции , зная результаты исследования функции:

1. 

2. 

3. функция является непрерывной и нечётной;

4. при

5. функция возрастает на промежутке .

1. Изобразите схематически график функции , зная результаты исследования функции:

1. 

2. 

3. функция является непрерывной и чётной;

4. при при

5. функция возрастает на промежутке .

1. С помощью графика определите свойства функции:

1. область определения функции;

2. область значений функции;

3. нули функции;

4. промежутки знакопостоянства;

5. чётность функции;

6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

7. наибольшее и наименьшее значение функции.

1. Определить свойства функций, заданных формулами:

1. С помощью графика определите свойства функции:

1. область определения функции;

2. область значений функции;

3. нули функции;

4. промежутки знакопостоянства;

5. чётность функции;

6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

7. наибольшее и наименьшее значение функции.

1. Найдите нули функции (если они существуют):

1. С помощью графика определите свойства функции:

1. область определения функции;

2. область значений функции;

3. нули функции;

4. промежутки знакопостоянства;

5. чётность функции;

6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

7. наибольшее и наименьшее значение функции.

1. Постройте график функции и опишите её свойства.

1. Постройте график функции и опишите её свойства.

1. Выясните свойства функции

1. Выясните свойства функции

1. С помощью графика определите свойства функции:

1. область определения функции;

2. область значений функции;

3. нули функции;

4. промежутки знакопостоянства;

5. чётность функции;

6. монотонность функции (промежутки возрастания и убывания);

7. наибольшее и наименьшее значение функции.

1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

1. Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?

6