Разработка урока алгебры на тему "Свойства функции"

Конспект урока

Описательная часть

Тема занятия: Свойства функций

Учитель: Рожкова Ирина Юрьевна

Класс: 9

Школа: МОУ СОШ с.Колочное

Цели: изучить свойства монотонности и ограниченности функции; научиться находить наименьшее и наибольшее значение y; рассмотреть алгоритм прочтения свойств функций; закрепить умение находить область определения и область значения функции; выяснить, какими свойствами обладают некоторые ранее изученные функции.

Задачи:

1. Обучения: формирование умений построения графиков функций и их чтения.

2. Воспитания: способствовать формированию культуры поведения: умения слушать, соблюдать дисциплину во время работы, в процессе выполнения самостоятельного задания;

3. Развития: способствовать формированию логического мышления и способности анализировать, обобщать полученные знания.

Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний.

Структура урока:

1. Организационный момент (1мин.)

2. Подготовка к основному этапу занятия, актуализация знаний (9мин.)

3. Усвоения новых знаний и способов действия (10мин.)

4. Закрепление изученного материала (10мин.)

5. Первичная проверка понимания (10мин.)

6. Подведение итогов занятия (3мин.)

7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (2мин.)

Способы (формы и методы-приемы) обучения (предъявления и отработки): демонстрация, объяснение, деферинцированный подход.

Способы (формы и методы-приемы) контроля: наблюдение за учащимися в ходе выполнения самостоятельной работы и работы у доски

Способы (формы и методы-приемы) мотивирования: создание ситуации успеха, доступность обучения.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор, интерактивная доска.

Дидактические материалы: карточки с заданиями (прил.1), карточки для самопроверки (прил.2)

Содержательная часть

I.Организационный момент

Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

II.Подготовка к основному этапу занятия

Сегодня мы с вами продолжим рассматривать функции, научимся читать графики функций, но прежде ответьте на вопрос: что вы понимаете по фразой «Читать график функции»? (Описать ее свойства). Мы знаем с вами несколько свойств, которыми может обладать функция, но их не достаточно для того, чтобы полностью прочитать функцию. Запишите дату и тему нашего сегодняшнего урока (слайд 1).

Сегодня на уроке мы с вами изучим свойства монотонности и ограниченности функций, научимся находить наибольшее и наименьшее значение y, рассмотрим алгоритм прочтения свойств функций (слайд 2).

В ходе урока каждый из вас может получить несколько оценок, итоговой будет являться их среднее значение. Причем оценки вы выставляете себе сами, посмотрите, у каждого на парте лежит лист самопроверки в виде таблицы, мы будем пользоваться им в течение нашего занятия, давайте посмотрим с вами пример заполнения листа (слайд 3).

Для знакомства с новыми свойствами давайте вспомним те, которые мы уже знаем (слайд 4, слайд 5).

1. Усвоение новых знаний и способов действия

Во время объяснения нового материала ученики делают опорный конспект.

Свойство монотонности позволяет нам определить на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает.

Функцию y=f(x) называют возрастающей на множестве X принадлежащем D(f), если для любых двух элементов x₁ и x₂ множества X, таких, что x₁˂ x₂ , выполняется неравенство f(x₁)˂f(x₂) (слайд 6).

Функцию y=f(x) называют убывающей на множестве X принадлежащем D(f), если для любых двух элементов x₁ и x₂ множества X, таких, что x₁˂ x₂ , выполняется неравенство f(x₁)˃f(x₂) (слайд 7).

Свойство ограниченности.

Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве X принадлежащем D(f), если существует число m такое, что для любого значения x выполняется неравенство f(x)˃m.

Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве X принадлежащем D(f), если существует число М такое, что для любого значения x выполняется неравенство f(x)˂ М. (слайд8).

Число m называют наименьшим значением функции y=f(x) на множестве X принадлежащем D(f), если:

1. существует число x₀ принадлежащее X такое, что f(x₀)=m;

2. для любого значения x принадлежащего X выполняется неравенство

f(x)≥f(x₀).

Число M называют наибольшим значением функции y=f(x) на множестве X принадлежащем D(f), если:

1. существует число x₀ принадлежащее X такое, что f(x₀)=M;

2. для любого значения x принадлежащего X выполняется неравенство

f(x)≤f(x₀). (слайд 9).

Справедливы следующие утверждения (слайд 10):

1. Если у функции существует y_наим. , то она ограничена снизу.

2. Если у функции существует y_наиб. , то она ограничена сверху.

3. Если функция не ограничена снизу, то y_наим. не существует.

4. Если функция не ограничена сверху, то y_наиб. не существует.

Ребята, давайте попробуем применить изученные свойства на практике. Нам дана функция y=-2x²+1. Постройте, пожалуйста у себя в тетради график этой функции. Вот, что у вас должно получиться (слайд 10). Теперь давайте определим, на каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает. Функция является ограниченной? Правильно, ребята, молодцы! Если функция ограничена только сверху, есть ли у нее наименьшее значение у?

Ну, а сейчас самое время записать алгоритм описания свойств функций, которым в дальнейшем мы с вами будем пользоваться (слайд 11). Каждое из свойств обладает ссылкой на слайд с его описанием.

IV .Закрепление изученного материала

Теперь мы знаем практически все свойства функций, самое время проверить свои знания у доски. Есть желающие. (К доске выходит один ученик все остальные работают в тетради).

Дана кусочно-заданная функция, нужно построить и прочитать ее график. (Ученики строят график функции, затем в таблицу записывают ее свойства, ученик у доски проверяет свои ответы, отмечая + верные, - неверные. В свою карточку самопроверки выставляет себе оценку).

1. Первичная проверка понимания

Сейчас ребята, мы с вами проведем небольшую самостоятельную работу, каждый из вас получит карточку с заданием, тот, кто выполнит задание первым поднимает руку, и мы попробуем его выполнить на доске. Для начала мы построим графики (слайд 13), а затем прочитаем их (слайд 14) (используется интерактивная доска). Не забываем про ваши листы самопроверки.

Проводится самостоятельная работа, учащимся раздаются карточки с заданиями разного уровня (приложение): 1 уровень – более легкие задания, 2 уровень – для более сильных учащихся.

1. VI.Подведение итогов занятия

Ребята, вы сегодня хорошо поработали на уроке! (Учитель выставляет оценки). Сдайте, пожалуйста, ваши листы самопроверки. Те, кто сегодня не получил оценку, подготовятся дома и на следующий урок постарается заработать хорошие отметки.

1. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению (слайд 15).

1.Учебник: §10 прочитать, рассмотреть пример 3;

2.Задачник: №10.4, №10.14 выполнить

Приложение 1

Самостоятельная работа

1 вариант

1.Построить график функции y=|x|

2.Сдвинуть график этой функции на 2 единицы вправо.

3. График функции из пункта 2 сдвинуть вниз на 3 единицы.

4.Записать формулу полученной функции.

5. Прочитать график

____________________________________________________________

2 вариант

1.Построить график функции y=√x.

2.Сдвинуть график этой функции на 1 единицу влево.

3. График функции из пункта 2 сдвинуть вниз на 2 единицы.

4.Записать формулу полученной. функции.

5. Прочитать график

____________________________________________________________

3 вариант

1.Построить график функции y=-x² +1. (Для этого нужно: построить график функции y=-x².Сдвинуть график этой функции на 1 единицу вверх ).

2.Прочитайте полученный график

____________________________________________________________

Приложение 2

Лист самопроверки

Дата:____________ Класс:___________

Ф.И.____________________________________________________________

Тема: Свойства функций

y

y=|x|

y=x 2

x

y=-x 2

Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.

А.П.Конфорович

Выполнил: учитель математики

МОУ СОШ с.Колочное Рожкова Ирина Юрьевна

Цели урока:

• изучить свойства монотонности и ограниченности функции;
• научиться находить наименьшее и наибольшее значение y;
• рассмотреть алгоритм прочтения свойств функций;
• закрепить умение находить область определения и область значения функции;
• выяснить, какими свойствами обладают некоторые ранее изученные функции.

Пример заполнения листа самопроверки

• Лист самопроверки
• Дата:____________ Класс:___________
• Ф.И.____________________________________________________________
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  

Работа у доски

Самостоятельная работа

4

5

Устные ответы

Не верно определил область значений

Верно построил и прочитал график

Итоговая оценка

5

5

Отвечал на все заданные учителем вопросы

Давайте вспомним

y=√x+1

Область определения Область значения

D (f) E (f)

D (f) = [-1; +∞) E(f) = [0;1]

Y

1

X

-1

1

-1

1

Непрерывность и выпуклость

y

Непрерывна на луче

(-∞; 0] и на луче [1;+∞).

Выпукла вверх на луче [1;+∞).

1

x

0

1

-2

2

3

4

-1

-1

-2

-3

-4

Свойство монотонности

Функцию y=f(x) называют возрастающей на множестве X принадлежащем D(f) , если для любых двух элементов x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 ˂ x 2 , выполняется неравенство f( x 1 )˂f(x 2 ) .

y

1

x

1

-1

0

-1

Свойство монотонности

Функцию y=f(x) называют убывающей на множестве X принадлежащем D(f) , если для любых двух элементов x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 ˂ x 2 , выполняется неравенство f( x 1 )˃f(x 2 ) .

y

1

x

1

-1

0

-1

Свойство ограниченности

y

Функцию y=f(x) называют ограниченной

снизу на множестве X принадлежащем D(f) ,

если существует число m такое, что для

любого значения x выполняется неравенство f( x)˃m.

Функцию y=f(x) называют ограниченной

сверху на множестве X принадлежащем D(f) ,

если существует число М такое, что для

любого значения x выполняется неравенство f( x)˂ М.

y=f(x )

1

y=m

x

1

0

-1

-1

y

y=M

y=f(x )

1

x

1

-1

0

-1

Наибольшее и наименьшее значения функции

Число m называют наименьшим значением функции y=f(x) на множестве X принадлежащем D(f) , если:

• существует число x 0 принадлежащее X такое, что f(x 0 )=m;
• для любого значения x принадлежащего X выполняется неравенство

f(x)≥f(x 0 ).

Число M называют наибольшим значением функции y=f(x) на множестве X принадлежащем D(f) , если:

• существует число x 0 принадлежащее X такое, что f(x 0 )=M;
• для любого значения x принадлежащего X выполняется неравенство

f(x)≤f(x 0 ).

1

x

-1

0

1

-1

Справедливы следующие утверждения

• Если у функции существует y наим. , то она ограничена снизу.
• Если у функции существует y наиб. , то она ограничена сверху.
• Если функция не ограничена снизу, то y наим. не существует.
• Если функция не ограничена сверху, то y наиб. не существует.

f(x)=y, y=-2x 2 +1

f(x)↗ (-∞;0],

f(x)↘[0;+∞);

ограничена сверху;

y наиб. =1,

y наим. не существует

y

1

x

1

-1

0

-1

Алгоритм описания свойств функций

• Область определения
• Монотонность (возрастает, убывает)
• Ограниченность
• y наим. ; y наиб.
• Непрерывность
• Область значений
• Выпуклость

Закрепим изученное

Свойства

D(f)

Проверяем

Монотон

+/-

Ограниченность

ность

y наиб

y наим

Непрерыв

ность

E(f)

выпуклость

[-2;4];

• D(f) =[-2;4];
• ↘ на отрезке [-2;0] и на

отрезке [3;4]; ↗ на отрезке [0;3];

• ограничена сверху и снизу;
• y наиб. = 1, y наим. = -4;
• Непрерывна;
• E(f) = [-4;1];
• выпукла вниз на отрезке [-2;2],

выпукла вверх на отрезке [2;4].

↘ [-2;0] и [3;4];

↗ [0;3];

Постройте и прочитайте график функции

x 2 -4, -2≤x≤2,

y=

(x-3) 2 +1, 2˂x≤4.

ограничена

сверху и снизу

y наиб. = 1,

y наим. = -4

1

x

1

0

4

3

2

-2

-1

-1

непрерывна

-2

-3

-4

[-4;1]

вниз [-2;2],

вверх [2;4]

Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант

3 вариант

y

y

y

y=|x-2|-3

y= √x +1 -2

1

1

1

x

x

x

0

1

4

-1

-2

2

3

y

1

0

0

1

-1

4

3

2

-2

-2

2

3

4

-1

-1

-1

-1

y=-x 2 +1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-4

-4

-4

1

x

0

1

2

-1

-2

4

3

-1

-2

-3

-4

y

y

y

y=|x-2|-3

y=-x 2 +1

y=|x-2|-3

1

1

1

x

x

x

1

0

-2

-1

4

3

2

0

1

3

4

2

-2

-1

1

0

2

-2

3

-1

4

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-4

-4

-4

Свойства

1

D(f)

(-∞;+∞)

Монотон

2

Ограниченность

↘ (-∞;2], ↗ (2;+∞)

[-1;+∞)

3

ность

(-∞;+∞)

ограничена снизу

↗ [-1;+∞)

y наиб

Непрерыв

y наим

нет

ограничена снизу

↗ (-∞;0], ↘ (0;+∞)

ограничена сверху

-3

ность

непрерывна

нет

E(f)

[-3;+∞)

0

1

непрерывна

выпуклость

вниз

непрерывна

нет

[0;+∞)

(-∞;1]

вверх

вверх

Домашнее задание

• Учебник: §10 прочитать, рассмотреть пример 3;
• Задачник: №10.4, №10.14 выполнить

Спасибо за внимание!