Справочный материал по теме "Треугольники"

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой и последовательно соединены отрезками

АВ, ВС, АС – стороны

Точки А, В, С – вершины

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Периметр треугольника – сумма длин всех сторон

М едиана треугольника – это отрезок соединяющий вершину с серединой противоположной стороны

Свойства медиан треугольника

1. Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

2. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.

3. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

4. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Б иссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны

Свойство биссектрисы треугольника

1. Биссектриса  делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам

1. биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и являются центром вписанной в нее окружности

В ысота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону

С ерединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину отрезка (сторона треугольника) и перпендикулярно к нему

Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.

Свойства срединных перпендикуляров треугольника:

1. Любая точка серединного перпендикуляра к стороне равноудалена от концов этой стороны.

2. Любая точка, равноудаленная от концов стороны, лежит на серединном перпендикуляре к ней.

3. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны

Свойства равнобедренного треугольника

1. углы при основании равны (∟А = ∟С)

2. биссектриса, проведенная из вершины к основанию является медианой и высотой
(BD – медиана, биссектриса, высота)

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90⁰

Свойства прямоугольного треугольника

1. сумма острых углов равна 90⁰

2. катет, лежащий напротив угла 30⁰ равен половине гипотенузы

3. медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. ∟A +∟B+∟C=180⁰

2. ∟A

3. AB

4. ∟3 = ∟1 + ∟2

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Определение

, если

∟А=∟А₁ , ∟В=∟В₁, ∟С=∟С₁

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Соотношение между сторонами и углами

sin α = cos α=

tg α= tg α =

sin²α + cos²α = 1