Случайные события. Пространство элементарных событий.

Лекция №2.

Случайные события. Пространство элементарных событий.

Определение: Случайным событием называется событие, которое в результате испытания может произойти или не произойти.

Обозначают события буквами латинского алфавита: A, B, C, …

Например:

А = {при бросании игральной кости выпадет четное число очков};

D = {при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков};

С = {при бросании игральной кости выпадет шесть очков}.

С каждым испытанием связано понятие множества элементарных событий (элементарных исходов).

Определение: Элементарные события – это возможные, исключающие друг друга результаты испытания. Элементарное событие нельзя разложить на более простые события.

Определение: Элементарные события, при которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.

Определение: Множество всех элементарных событий, связанных с данным испытанием, называется пространством элементарных событий и обозначается Ω, а элементарное событие – точка (элемент) пространства Ω обозначают ω,

Очевидно, что для любого случайного события А, .

Пример 1.

Описать пространство элементарных событий, а также события:

А = {при бросании игральной кости выпадет четное число очков};

D = {при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков};

Решение.

Пространство элементарных событий – это множество всех элементарных исходов:

Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Благоприятствующими для события А ={выпало четное число очков} будут элементарные события – выпало 2,4, или 6 очков.

А = {2,4,6}, аналогично

D = {1,3,5}.

Определение: события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании, в противном случае события называют совместными.

Определение: событие называется противоположным для события A, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.

Например,

Если А = {при бросании игральной кости выпадет четное число очков}, то = {при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков}.

Определение: событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет, обозначают Ω.

Определение: событие А = называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти.

Алгебра событий.

Над событиями определены операции суммы, разности и произведения.

Определение: Суммой нескольких событий называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий, обозначают А + В= С.

Сумму событий А + В можно рассматривать как множество, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В.

Определение: Разностью двух событий А и В называется событие D, которое состоит в том, что событие А произойдет, а событие В не произойдет, обозначают А – В = D.

В частности, противоположное событие состоит в том, что событие А не произойдет, .

Определение: Произведением событий А и В называется событие Е, состоящее в совместном наступлении этих событий, обозначают А∙В = Е.

Если А и В – совместные события, то их произведение А∙В означает наступление и события А, и события В одновременно. Операции над событиями можно геометрически проиллюстрировать диаграммами Виена (Ω – пространство элементарных событий):

1. Сумма событий (совместные/несовместные):

2. Разность событий:

3. Произведение событий (совместные/несовместные):

4. Противоположное событие:

Свойства операций сложения и умножения событий:

1. А + В = В + А (коммутативность сложения);

2. A + (B + C) = (A + B) +C (ассоциативность сложения);

3. А∙В = В∙А (коммутативность умножения);

4. A∙(B∙C) = (A∙B)∙C (ассоциативность умножения);

5. A∙(B+C) = A∙B + A∙C (дистрибутивность).

Пример 2.

Описать следующие события А + В, D – В, А ∙ В, ∙ В, С ∙ D, если:

А = {при бросании игральной кости выпадет четное число очков};

В = {при бросании игральной кости выпадет 5 очков},

С = {при бросании игральной кости выпадет 6 очков},

D = {при бросании игральной кости выпадет нечетное число очков};

Решение.

А + В = {2,4,6,5};

D – В = {1,3};

А ∙ В= ;

∙ В = {5};

С ∙ D= .