Системы уравнений

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Системы уравнений

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение 1

Рациональное уравнение с двумя переменными х и у – уравнение вида , где и – рациональные выражения.

Определение 2

Решением уравнения р(х;у)=0 называется пара чисел которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает данное равенство в верное числовое равенство.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 1 :

1) - решение уравнения58

Проверим: - верное равенство

2) - решение уравнения58

Проверим: - верное равенство

3) - решение уравнения 0

Проверим: - верное равенство

4) - не является решением уравнения

0

Проверим: неверное равенство

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Определение 3

Два уравнения называются равносильными , если имеют одинаковые решения или не имеют решений.

Существуют

равносильные и неравносильные преобразования.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Равносильные

Неравносильные

преобразования

преобразования.

- Перенос членов уравнения через знак равенства

- Освобождение от знаменателей, содержащих переменные

- Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

- умножение, или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, или выражение, отличное от нуля.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Графиком уравнения с двумя переменными называется

множество точек координатной плоскости, координаты

которых обращают уравнение в верное равенство.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 2 :

Построить график уравнения

Решение :

Выразим через , получим уравнение

Разделим обе части на 4:

Построим график линейной функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 3 :

Построить график уравнения

Решение :

Выразим через , получим уравнение

Построим график квадратичной функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Обратная пропорциональность

Линейная функция

Прямая пропорциональность

y

y

y

гипербола

прямая

прямая

b

x

0

0

0

x

x

Функция

Функция

Функция

y

y

y

парабола

x

x

0

кубическая

парабола

x

0

0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Графики уравнений вида

Графики уравнений вида

Графики уравнений вида

График уравнения

Графики уравнений

Графики уравнений

Графики уравнений

Графики уравнений

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений вида

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений вида

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений вида

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

х

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Графики уравнений с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Формула расстояния между точками координатной плоскости.

Уравнение окружности.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

11

Теорема 1

Расстояние между точками и координатной плоскости вычисляется по формуле

.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

11

Пример 4 :

Найти расстояние между точками

А(-5;2) и В(4; -7)

Найти расстояние между точками

А(1;1) и В(4; 5)

Найти расстояние между точками

А(-5;0) и В(0; 12)

Найти расстояние между точками

А(-1; - 2) и В(3; 1)

0). «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др. Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина 24 " width="640"

Теорема 2

y

M( x;y )

r

C( x 0 ;y 0 )

x

O

Графиком уравнения

(х – а) 2 + (у – b) 2 = r 2

является окружность на координатной плоскости с центром в точке О(а;b) и радиусом r (r 0).

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

24

Пример 5 :

Построить график уравнения

(х – 1) 2 + (у + 1) 2 = 9

Центр (1; -1)

r = 3

Пример 6 :

Построить график уравнения х 2 + у 2 = 16

Центр (0;0)

r = 4

Системы уравнений

с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

24

Пример 7 :

2

х –у = 4

5

Графиком уравнения

является парабола,

ветви направлены

вверх, вершина (0;-4 )

-3

2х + у = -1

- 3

2х + у = -1

Графиком уравнения

является прямая

Т.к. графики пересекаются в двух точках ,

то система уравнений имеет два решения

(1;-3), (-3;5)

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 8 :

3х-2у=0

Графиком первого уравнения

является гипербола,

ветви которой находятся

в I и III четвертях

ху=6

Графиком второго уравнения

является прямая

Т.к. графики пересекаются в двух точках

система имеет два решения (-2;-3) и(2;3).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 9 :

2

2

(х+2) +(у-2) =1

у = х+1

Графиком уравнения является

окружность с центром

в точке (-2;2) радиуса 1

График уравнения второго

получается из графика

параллельным переносом вдоль оси ОХ на 1 влево

Т.к. графики уравнений не пересекаются,

то система не имеет решений

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 10 :

Сколько решений имеет

система уравнений ?

2

у =х +1

2

2

х +у = 9

3

2

у =х

у =х +1

2

2

ху=12

(х-5) + у =1

ху=3

ху=12

2

2

х +у = 9

ху=3

2

2

(х-5) + у =1

3

у = х

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 11 :

Графиком первого уравнения

является парабола,

вершина (0;4),

ветви направлены вверх

Графиком данного уравнения

является прямая

Ответ: Система имеет одно решение при р=0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 12 :

Графиком первого уравнения

является окружность, с центром

в точке (0;0) радиуса 2

Графиком второго уравнения

является парабола

ветви направлены вверх, вершина (0;р)

Ответ: Система имеет три решения при р=-2 и

одно решение при р =2

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Неравенства

с двумя переменными

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

31

2x – 4 Данное неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой у = 2x – 4 Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина " width="640"

у =2x – 4

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

у 2x – 4

Данное неравенство задает

открытую полуплоскость,

расположенную выше прямой

у = 2x – 4

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

x = 3

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

Данное неравенство задает

открытую полуплоскость,

расположенную левее прямой,

включая саму прямую

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

х+2у - 6 = 0

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

Контрольная точка: О(0;0).

Получаем верное неравенство

Данное неравенство задает

открытую полуплоскость,

которая содержит начало

координат

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

Графиком функции

является парабола

Данное неравенство задает

ту из образовавшихся областей,

которая расположена выше

параболы, включая саму параболу.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

Графиком уравнения

является окружность с центром

в начале координат и радиусом 4.

Данное неравенство задает

множество точек, расположенных

внутри круга.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

Графиком уравнения

является гипербола, которая

разбивает координатную

плоскость на три области.

С помощью контрольных точек

убеждаемся, что данное

неравенство задает множество

точек, расположенных

между ветвями гиперболы.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Множество решений неравенства с двумя переменными

Выясним какое множество точек

задает на координатной

плоскости неравенство

Графиком уравнения

является гипербола, которая

разбивает координатную

плоскость на три области.

С помощью контрольных точек

убеждаемся, что данное

неравенство задает множество

точек, которое является

объединением двух областей и

самой гиперболы.

Закрыть

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

31

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки

на 30 км и 45 км соответственно.

30 км

В

С

А

45 км

Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 часа 40 минут.

Расстояние

По течению

Против течения

Скорость

27 км

время

(х +2)км/ч

7км

(х -2)км/ч

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки

на 30 км и 45 км соответственно.

30 км

В

С

А

45 км

Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 часов. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения?

Расстояние

По течению

Скорость

Против течения

27 км

время

(х +2)км/ч

7км

(х -2)км/ч

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина