"Сечение тетраэдра и параллелепипеда"

Урок «Сечения куба и тетраэдра»

10 класс Семёновых И.Н.

09.12.2016 г

Аннотация.

Задачи на построение сечений многогранников занимают заметное место в школьных учебниках геометрии. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, систематизации знаний и умений, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков школьников. Общеизвестны и трудности, возникающие у учащихся при решении задач на построение сечений. Данный урок – второй по теме «Задачи на построение сечений» по учебнику Л.С.Атанасяна «Геометрия 10-11». При повторении и изучении нового материала используется презентация, сделанная в программе PowerPoint. Один из слайдов презентации – видеоролик «Как построить сечение куба» из учебного электронного издания под ред. Дубровского В.Н. МАТЕМАТИКА 5-11 классы. Практикум.

Цели и задачи:

а) повторить и проверить умения строить сечения методом следов; изучить еще два метода: вспомогательной плоскости и внутреннего (центрального) проектирования;

б) систематизировать знания и умения десятиклассников по теме «Сечения», тем самым, развивая пространственные представления и конструктивные навыки.

Оборудование: мультимедийный проектор, доска, мел. Урок сопровождается показом слайдов презентации «Сечения куба и тетраэдра», причем презентация должна быть включена на фоне диска «1С: Школа. Математика. 5-11 классы. Практикум (Стереометрия. Сечения)» под редакцией Дубровского В.Н.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока и цели урока.

1. Актуализация знаний, необходимых на уроке.

Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников?:

• находить точки пересечения прямой и плоскости;

• строить линию пересечения двух плоскостей;

• знать, что секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым;

Устное выполнение упражнений:

Часть учащихся в это время решают задачи на построение линии пересечения двух плоскостей из «Живой геометрии».

Просмотр видеоролика о различных случаях сечений куба (слайд № 13).

Применяем полученные знания при решении задач. У каждого ученика на столе заготовки для решения задач.

1. Изучение нового материала.

Рассмотрим более сложный случай.

Точки К и М лежат в гранях ABD и BCD, а точка L – на ребре АС. Сразу построить след плоскости сечения в какой-то из граней нельзя. Рассмотрим вспомогательную плоскость ВМК. Строим в этой плоскости прямую КМ («след» сечения). Точка Р – точка пересечения прямых KM и EF. Р лежит и в плоскости сечения, и в плоскости ACD (объяснить), но в этой же плоскости лежит и точка L. Дальнейшее построение понятно.

Используя вспомогательные плоскости, можно строить сечения, почти «не выходя» за пределы многогранника.

Для того чтобы освоить еще один прием построения сечений, рассмотрим следующую ситуацию:

Пусть А₁, В₁, С₁ – проекции точек А, В, С на плоскость с центром S. Известно, что Р₁. Найти точку Р – точку пересечения плоскости АВС с прямой SP₁.

После разбора этой задачи решаем

Спроецируем точки M, K, N на плоскость АВС, взяв точку D за центр проекций. Точки M, K, N образуют плоскость. Найдем пересечение с плоскостью одного из боковых ребер тетраэдра, например, BD.

Для этого сначала найдем точку пересечения прямых М₁В и K₁N₁ – F₁, затем найдем точку пересечения прямых DF₁ и KN – F, FKN Fсечению;

MFBD=X, Xсечению. Дальнейшее построение понятно. Данный метод называется методом внутреннего проектирования.

1. Самостоятельная работа.

Задание. Построить сечение тетраэдра по следу и точке, по трем точкам на ребрах куба.

Вариант 1. Вариант 2.

10 учащихся выполняют задания на компьютерах в среде «Живая геометрия».

1. Подведение итогов, домашнее задание.

Какие задачи научились решать? Назовите методы построения сечений.

Дома решите задачу № 2 методом внутреннего проектирования, а задачу № 3 – методом вспомогательных плоскостей.