Курсы повышения квалификации и переподготовки для учителей. Документы об окончании по почте БЕСПЛАТНО, комфортное обучение из дома.

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 22.02.2019 18:16

Алексеева Наталья Федоровна

учитель математики

46 лет

3 384

13 762

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, с. Мухоршибирь

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Шпаргалки по математике для учащихся

Категория: Математика

21.02.2019 17:05

Подборка таблиц, схем в которых систематизируется материал по конкретной теме. Раздаю ученикам распечатку для использования при работе на уроках или запоминания.

Просмотр содержимого документа
«Вычислительные приёмы»

Вычислительные приёмы

Умножение двузначного числа на 11

Чтобы двузначное число умножить на 11, сложите его первую и последнюю цифру. Если результат будет однозначным, впишите его между двумя цифрами первоначального числа, а если двузначным – прибавьте первую цифру результата к первой цифре первоначального числа, а вторую – впишите между цифрами.

Примеры:

45·11

Складываем 4+5=9. Поэтому результатом будет 495.

76·11

Складываем 7+6=13. Единицу прибавляем к семёрке, а тройку пишем в середину и получаем 836.

Математическое обоснование:

Пусть нужно двузначное число 10a+b. Умножить на 11. Результатом будет

110a+11b = 100a +10 (a+b) +b

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.

Примеры:

65²

Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.

115²

Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.

Математическое обоснование:

Возведём в квадрат число 10n+5.

(10n+5)² = 100n²+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.

Возведение в квадрат числа, близкого к круглому

Целесообразно воспользоваться формулами квадрата суммы или разности.

Примеры:

19² = (20-1)² = 400–40+1=361

42² = (40+2)² = 1600+160+4 = 1764

Просмотр содержимого документа
«Свойства девятки»

Свойства девятки

Человеческая рука есть одна из первых счетных машин!

Движением пальца. Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева — 1, второй — 2, третий — 3, четвертый — 4 и т. д. до десятого, который будет обозначать число 10. Например, Нам необходимо умножить 7 на 9. Теперь поднимите седьмой палец. Число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо — числом единиц. Налево от поднятого пальца лежат 6 пальцев, а направо — 3. Значит, результат умножения 7 на 9 равен 63.

Это удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас же станет понятным, если вспомнить, что сумма цифр в каждом произведении чисел таблицы умножения на девять равна девяти, а число десятков в произведении всегда на 1 меньше того числа, которое мы умножаем на 9. Поднятием соответствующего пальца это мы и отмечаем, а следовательно, и умножаем.

Просмотр содержимого документа
«Сравнительная таблица перестановки сочетания размещения»

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов данного множества.

Соединение (выборка) – некоторый набор, составленный из элементов данного множества.

Основные правила комбинаторики

Правило суммы: если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать т способами, то выбрать либо А, либо В можно (п + т) способами.
Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать т способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п · т способами.

Типы соединений: 1) Перестановки; 2) Размещения; 3) Сочетания.

Перестановки	Сочетания	Размещения
Опр. Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n-элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n.	Опр. Число всех выборов двух элементов без учёта их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по два и обозначают «цэ из эн по два»	Опр. Число всех выборов двух элементов с учётом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по два и обозначают «а из эн по два»

	Опр. Число всех выборов k элементов без учёта их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают	Опр. Число всех выборов k элементов с учётом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по k и обозначают
Р_n = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Соединение (выборка) – некоторый набор, составленный из элементов данного множества.

Основные правила комбинаторики

Правило суммы: если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать т способами, то выбрать либо А, либо В можно (п + т) способами.
Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать т способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п · т способами.

Типы соединений: 1) Перестановки; 2) Размещения; 3) Сочетания.

Перестановки	Сочетания	Размещения
Опр. Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n-элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n.	Опр. Число всех выборов двух элементов без учёта их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по два и обозначают «цэ из эн по два»	Опр. Число всех выборов двух элементов с учётом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по два и обозначают «а из эн по два»

	Опр. Число всех выборов k элементов без учёта их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают	Опр. Число всех выборов k элементов с учётом их порядка из n данных элементов называют числом размещений из n элементов по k и обозначают
Р_n = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Перестановки		Сочетания		Размещения
		Свойства сочетаний: 1) 2) 3)
Существенные признаки понятия
Задано некоторое множество из n элементов. Составляется последовательность из всех элементов этого множества. Эта последовательность содержит n элементов.	Заданы два множества. Одно из множеств является подмножеством другого. Основное множество содержит n элементов. Подмножество содержит k элементов.		Задано некоторое множество из n элементов. Выделена последовательность элементов из этого множества. Эта последовательность содержит k элементов. Эти элементы различны.
Перестановки – размещения Сходства - это последовательности элементов n- элементного подмножества. В них имеет значение порядок следования элементов последовательности. Различия - в размещении могут участвовать не все элементы исходного множества. В перестановке участвуют все элементы исходного множества.
Сочетания – размещения Различия: Сочетание – это подмножество, содержащее m элементов из n. Размещение – это последовательность, содержащая m элементов из n. При формировании последовательности важен порядок следования элементов, а при формировании подмножества порядок не важен.

Перестановки		Сочетания		Размещения
		Свойства сочетаний: 1) 2) 3)
Существенные признаки понятия
Задано некоторое множество из n элементов. Составляется последовательность из всех элементов этого множества. Эта последовательность содержит n элементов.	Заданы два множества. Одно из множеств является подмножеством другого. Основное множество содержит n элементов. Подмножество содержит k элементов.		Задано некоторое множество из n элементов. Выделена последовательность элементов из этого множества. Эта последовательность содержит k элементов. Эти элементы различны.
Перестановки – размещения Сходства - это последовательности элементов n- элементного подмножества. В них имеет значение порядок следования элементов последовательности. Различия - в размещении могут участвовать не все элементы исходного множества. В перестановке участвуют все элементы исходного множества.
Сочетания – размещения Различия: Сочетание – это подмножество, содержащее m элементов из n. Размещение – это последовательность, содержащая m элементов из n. При формировании последовательности важен порядок следования элементов, а при формировании подмножества порядок не важен.