Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля

x

- 3x + 8 + 3x – 2 = 6; x

⅔ ≤ x

- 3x + 8 - 3x + 2 = 6; x = ⅔;

x ≥ 2⅔,

3x – 8 – 3x + 2 = 6; Ø. Ответ: (-∞; ⅔ ].

Ответы на задания 1 – 6. (8, 9 кл.):

1. a) – 2; 2; б) – 32; 38; в) – 4; 4; г) – 1,4; 1,4; д) – 35; 65; e) 3.

2. a) x ≥ 4; б) x в) x ≤ - 4.

3. a) – 3; -1; 1; 3; б) – 4; - 1; 1; 4; в) – 1; 1.

4. a) – 1⅓; 2; б) – 5; - 1,8; в) - √ 3; √ 3.

5. a) ⅓; 1; б) – 3; 2,5; в) ^{( 3 ± √ 5)}/₂ ; ^{(1+ √ 5)}/₂ ; г) Ø.

6. a) (-∞; ⅔ ]; б) – 15;- 1,8; в) -1; 1; г) 3.

7. Решите неравенство: a) | 2x – 6 | ≤ 3;

б) | x² - 5x | ≤ 6;

в) | 3x – 1| | 2x – 5|;

г) | x² - 5| ≥ 4;

д) | x² + x – 3 | ≤ | 2x² + x – 2 |.

Примечание. Неравенство вида | f(x)| ≤ a (a 0) равносильно неравенству - a ≤ f(x) ≤ a ; если а = 0, то f(x) = 0; если а то решений нет.

Неравенство вида | f(x)| ≥ a (a 0) равносильно совокупности неравенств f(x) ≥ a,

f(x) ≤ - a. Если а ≤ 0, то | f(x)| ≥ a при любых допустимых значениях х.

Неравенство вида | f(x)| ≤ | g(x)| равносильно неравенству

f ²(x) ≤ g²(x), f ²(x) - g²(x) ≤ 0, (f(x) – g(x))(f(x)+g(x)) ≤ 0.

Решим неравенство | 1 – 3x | ≤ 2. Оно равносильно неравенству

-2 ≤ 1 – 3x ≤ 2

- 3 ≤ - 3x ≤ 1

- ⅓ ≤ x ≤ 1. Ответ: [- ⅓; 1].

Решим неравенство | x + 2|

I способ. Неравенство вида | A | равносильно неравенству A² Данное неравенство равносильно неравенству

(x + 2)² - 3; x - 0,5.

Ответ: ( -∞; -0,5).

II способ (графический).В одной системе координат построим графики функций y = | x + 2 | и y = | x – 1|.

y=|x+2| y=|x-1|

-2 0 1 x

График функции y = | x + 2 | ниже (знак „графика функции y = | x –1 | на промежутке ( -∞; -0,5).

Ответ: ( -∞; -0,5).

III способ. Введем функции f(x), g(x).

f(x) = x + 2, g(x) = x – 1,

f(x) = 0, x = -2; g(x) = 0, x = 1.

Определим знаки f(x) и g(x) на промежутках (-∞; -2),(-2;1),(1;+∞);

f(x) - + +

g(x) - -2 - 1 + x

x -2, x -2,

-x–2 -x + 1 0 -2;

-2 ≤ x -2 ≤ x

x + 2 -x + 1; x -0,5; -2 ≤ x -0,5;

x ≥ 1, x ≥ 1,

x + 2 – 1; 0 -3; решений нет.

Ответ: ( -∞; -0,5).

Решим неравенство д) | x² + x – 3 | ≤ | 2x² + x – 2 |. Оно равносильно неравенству (x² + x – 3) ² - (2x² + x – 2) ² ≤ 0

( - x² - 1 )( 3x² + 2x – 5 ) ≤ 0.

- x² - 1 при любых значениях х; 3x² + 2x – 5 ≥ 0

+ +

-1⅔ - 1 x

Ответ: (-∞; -1⅔] U [1; +∞).

8. Решите неравенство: a) | 3x + 2 | ≤ 1 – x ;

б) | x² -x|≤ x + 2;

в) | x – 1 | ≥ 2x + 1;

г) | 1/x – 1 | x – 2;

д) | x² -2| x;

е) ^{| х – 2 |} / _{| x + 1|} ≥ x.

Решим неравенство | 3x + 2 | ≤ 1 – x .

I способ. При х 1 решений нет; данное неравенство равносильно системе x ≤ 1,

( 3x + 2 )² ≤ ( 1 – x )²;

x ≤ 1,

( 4x + 1)( 2x + 3) ≤ 0;

f(x) = ( 4x + 1)( 2x + 3); + - +

f(x) = 0, x = - 1,5 , x = - 0,25 - 1,5 - 0,25 1 x

f(1) 0. Ответ: [-1,5; - 0,25].

II способ. – ( 1 – x ) ≤ 3x + 2 ≤ 1 – x ;

3x + 2 ≤ 1 – x, 4x ≤ - 1, x ≤ - 0,25,

3x + 2 ≥ x – 1 ; 2x ≥ - 3; x ≥ - 1,5.

Ответ: [-1,5; - 0,25].

Решим неравенство | x – 1 | ≥ 2x + 1;

I способ.

2x + 1 - 0,5; x - 0,5;

2x + 1 ≥ 0, x ≥ - 1,5, x ≥ - 1,5,

( x – 1)² - ( 2x + 1)² ≥ 0; - 3x ( x + 2) ≥ 0; x ( x + 2) ≤ 0;

x - 0,5;

- 0,5 ≤ x ≤ 0.

Ответ: (-∞; 0].

II способ. x – 1 ≥ 2x + 1, x ≤ -2,

x – 1 ≤ - 2x – 1; x ≤ 0.

Ответ: (-∞; 0].

Ответы на задания 7, 8:

7) a) [ 1,5; 4,5 ], б) [ -1; 2 ] U [ 3; 6 ], в) (-∞; -4) U (1,2; + ∞),

г) (-∞; - 3] U [-1; 1] U [ 3; + ∞), д) (- ∞; - 1⅔] U [1; +∞).

8) a)[-1,5; - 0,25], б)[1- √3; 1+ √3], в)(-∞; 0], г)(-∞; 0)U( 0;(3+√5)/2),

д)( 1; 2 ), е) (- ; - 1) U ( - 1; √3 – 1).

9. Решите неравенство: a) | 3 – x | - | x – 2 | ≤ 5;

б) | x² - 2x | + | x – 1 | ≥ x²;

в) | 4x – 1 | + | 2x – 4 | ≤ 0;

г) | 2x – 6 | + | 4 – x | ≤ | x – 2 |;

д) | x² + 2x | + | x – 2 | 4.

Решим неравенство | 3 – x | - | x – 2 | ≤ 5. Введём функции f₁ (x) и f₂(x): f₁ (x) = 3 – x, f₂(x) = x – 2.

f₁ (x) = 0, x = 3; f₂(x) = 0, x = 2.

Определим знаки f₁ (x) и f₂(x) на промежутках (- ∞;2), (2;3) и (3;+ ∞);

f₁ (x) + + -

f₂(x) - 2 + 3 + x

x

3 – x + x – 2 ≤ 5; x

2 ≤ x

3 – x – x + 2 ≤ 5; 2 ≤ x

x ≥ 3,

x – 3 – x + 2 ≤ 5; x ≥ 3. Ответ: (- ∞; + ∞).

10. Решите неравенство: a) ^{1– x²}/_{| x –4 |-2} ≤ 0; б) ^{| x–3 |-2x} /_x–2|x+1| ≤ 0; в)^{1-| x²-3 |} /_{| 2x²-x |-1} ≥ 0; г)^{| x²-x |-| x |}/_{| x–2 | + 2x} 0; д)^x²+5x+6 /_x²-5|x|+4 ≤ 0.

Решим неравенство ^{1 - x²} / _{| x – 4| - 2} ≤ 0 методом интервалов.

Введём функцию f(x) = ^{1 - x²} / _{| x – 4| - 2;}

найдём область определения D(f): | x – 4 | ≠ 2; x₁ ≠ 6, x₂ ≠ 2.

Определим нули функции: f(x) = 0, 1 - x² = 0; x = ± 1.

С помощью рисунка установим промежутки, в которых f(x) ≤ 0;

f(x) - + - + -

-1 1 2 6 x

Ответ: ( -∞; -1] U [1; 2) U (6; + ∞).

9) a) ( - ∞; + ∞ ); б) (-∞; -1]; в) решений нет; г) [ 3; 4];

д) (-∞; -1) U ( 1; + ∞). 10) а)(-∞;-1]U[1; 2)U(6; +∞); б)(-∞;-1]; в)[-2;-√2]U(-0,5;1)U[√2;2];

г) (-2; 0)U( 2; +∞); д)(- 4; - 3]U[ - 2; - 1)U(1;4).

Примечание. К некоторым неравенствам номеров 7 – 10 можно предложить дополнительные задания, к примеру: указать наибольшее (наименьшее) целое решение данного неравенства; определить сколько целых решений (положительных целых, отрицательных целых) имеет данное неравенство; найти сумму целых решений неравенства…

Практикум по теме: « Решение уравнений и неравенств,

содержащих знак модуля » 10 – 11 кл.

I.Решите уравнение (систему): 1) | sin x + cos x | = 2| sin x – 0,5cos x |; 14)| x | -2| x+1| + 3| x+2| = 4;

2) | sin²x – sin x | = | cos²x - cos x |; 15)| x + 1+ |-x – 3| | -6 = x;

3) | sin 2x | = cos x; 16) | x - | x - | x – 1 | | | = ½ ;

4) | sin x - √2/2 | = cos x - √2/2; 17) 2 ^{| x |} = 11 - | x |;

5) | sin x – ½ | - | cos x – ½ | = 1; 18) | x – 3 | ^{3x² - 10x + 3} = 1;

6) 4| cos x | + 3 = 4 sin²x; 19) | x – 2 | ^{10x² - 3x – 1} = 1;

7) | cos x – ¼ | = 8 cos²x/2 – 5; 20)|log _√3 x²-2|-|log _√3x–2| =2;

8) | 3/5 – sin²x/2 | = 5cos x + 1; 21) | 4x – 3 | + | 9 – 2y | = 2,

9) √ x – 2 = | x – 4 | - | x – 3 |; ^{y – 4} / _{2x – 1} = 1;

10) ⁴ √| x – 3| ^{x + 1} = ³√| x – 3| ^{x – 2}; 22) | 0,2x – 1| = y – 2 ,

11) √ x² + 4x = √ 5| x + 2 | + 2; | 2y + 2 | = x + 8.

12) √ x² - 6x = √ 10| x – 3 | + 2;

13) | x³ - 3x + 1| = x³ + 3x² -1;

II.Решите неравенство: 1) | x² - 3 | - | x – 2 | | - 2x – 7 | ≤ 1; 15) | x² - | x² + x | | 11; 3) | ^{( x² - 5x + 4)} / _{( x² - 4)} | - | 3x + 1 | | ≤ x + 2;

4) | x – 1 | + | x + 2 | ≤ 3; 17) | | 3x + 1 | + x + 1 | ≥ 2;

5) | x² - x | ≥ x + 2; 18) | | ^x/₂ + 7 | - 4 | ^x/₁₆ + 2.

6) 3| x – 1 | ≥ x + 1;

7) ^{| x – 3 |} / _{(x² - 5x + 6)} ≥ 2 Примечание. К некоторым не- 8) ^{| x + 2 | - | x |} / _{√4 - x³} 0; равенствам (118) можно предложить

9) | 3x – 1 | | 2x – 5 |; дополнительные задания, к примеру:

10) | sin x | | cos x |; указать наибольшее (наименьшее)

11) | 2 sin x – 1 | ≤ | sin x |; целое решение данного неравенства;

12) | 2^x – 1| + x ≥ x 2^x ; найти сумму целых решений, коли -

13) log _{| x – 1|} 0,5 0,5; чество целых решений…

Ответы на задания I , II.

I. 1) arctg 2 + πn, πn, nЄ Z. II. 1)(-√5;-1) U (1;√5).

2) π/4+πn, π/2+2πn, 2πn, nЄZ. 2)[-2;1-√7] U [1+√7;4].

3) π/2+ πn, ±π/6+2πn, nЄ Z. 3)(0;1,6) U (2,5;+∞).

4) π/4+2πn, nЄ Z. 4)[-2;1].

5) -π/4+2πn,-π/2+2πn, nЄ Z. 5)(-∞;1-√3] U [1+√3;+∞).

6) ±arccos^{√2 –1} /₂ + πn, nЄ Z. 6)(-∞;0,5] U [2;+∞).

7) ±arccos1/4+2πn, nЄ Z. 7)[1,5; 2).

8) ±arccos(-1/5)+2πn, nЄ Z. 8)(-1; ³√4).

9) 3. 9)(-∞;-4) U (1,2;+∞).

10) 2, 3, 4, 11. 10)(^π/₄ + πn; ^3π/₄ + πn), nЄ Z.

11) – 8; 4. 11)[arcsin1/3+2πn;π-arcsin1/3+2πn], nЄ Z.

12) - 8; 14. 12)[-1; 1].

13) ^–3-√33/₆; ^–3+√33/_4. 13)(0; 0,75) U (1,25; 2).

14) -4 и [-1;0]. 14)(-1/3; 5/3).

15) – 4; 2. 15)(-∞; -11) U (11;+∞).

16) 1/6; ½; 3/2. 16)[-2/3;+∞).

17) –3; 3. 17)( -∞; -1] U [0;+∞).

18) 1/3; 2; 4. 18)(-23¹/₉;-20⁴/₇)U(-8⁸/₉;-2²/₇);

19) – 0,4; 1; 3. (- 99).

20) 1/3; 3.

21) (1; 5).

22) (0; 3).

Рекомендации, замечания при решении некоторых уравнений и неравенств.

I. Решим уравнение | sin x + cos x | = 2| sin x – 0,5cos x |.

| A | = | B | A = B,

A = - B.

sin x + cos x = 2( sin x – 0,5cos x), (1)

sin x + cos x = 2( 0,5cos x - sin x ); (2)

(1) sinx – 2 cosx = 0; (2) 3 sinx = 0;

tgx = 2; sinx = 0;

x = arctg2 + πn; x = πn, n Є Z.

Ответ: arctg2 + πn; πn, n Є Z.

Замечание. В записи решений данного уравнения можно использовать вместо n две буквы n и k: arctg2 + πn, n Є Z; πk, k Є Z.

Решим уравнение | sin²x – sin x | = | cos²x - cos x |.

sin²x – sin x = cos²x - cos x, ( sin²x - cos²x) – ( sin x – cos x ) = 0,

sin²x – sin x = cos x - cos²x; sin²x + cos²x = sin x + cos x;

(sin x – cos x )( sin x + cos x – 1) = 0,

sin x + cos x = 1.

sin x – cos x = 0 или sin x + cos x = 1;

tg x = 1, sin x + sin(π/2 – x) = 1;

x = π/4 + πn, n Є Z, 2sin π/4 cos(x – π/4) = 1;

cos(x – π/4) = ¹/ _√2 ;

x = π/2 + 2πk или x = 2πk, k Є Z.

Ответ: π/4 + πn, n Є Z, π/2 + 2πk, 2πk, k Є Z.

Замечанме. Решения можно записать в таком виде: π/4 + πn, π/2 + 2πn, 2πn, n Є Z.

Решим уравнение | sin 2x | = cos x.

cos x ≥ 0, или cosx ≥ 0, (I, IV четв.)

sin 2x = cos x; sin 2x = -cos x;

cos x( 2sin x – 1)=0; cos x( 2sin x + 1)=0.

Имеем: cos x = 0 или sin x = ± ½ . Учитывая cosx ≥ 0, получим

x = π/2+ πn или x = ±π/6+2πn, nЄ Z.

Ответ: π/2+ πn, ±π/6+2πn, nЄ Z.

При решении уравнения | sin x – ½ | - | cos x – ½ | = 1 можно воспользоваться тригонометрической окружностью;

Решаем уравнение на каждом из четырёх получившихся промежутков.

-π/3 + 2πn ≤ x n Є Z

½ - sin x – cos x + ½ = 1;

π/6 + 2πn ≤ x

sin x – ½ - cos x + ½ = 1;

π/3 + 2πn ≤ x ^5π/₆ + 2πn,

sin x – ½ + cos x - ½ = 1;

^5π/₆ + 2πn ≤ x ^5π/₃ + 2πn,

½ - sin x + cos x - ½ = 1.

При решении уравнения 4| cos x | + 3 = 4 sin²x сначала для удобства введём новую переменную, cos x = t; sin²x =1- t².Решаем уравнение 4| t | = 1 – 4t², а затем, воспользовавшись подстановкой

cos x = t, находим значения х.

При решении уравнения | cos x – ¼ | = 8 cos²x/2 – 5 сначала воспользуемся формулой cos2α = 2cos²α – 1, получим уравнение

| 2cos²x/2 – 5/4 | = 8 cos²x/2 – 5, затем для удобства введём новую переменную, 2cos²x/2 = t; решим уравнение | t – 5/4 | = 4t – 5; воспользовавшись подстановкой 2cos²x/2 = t, находим значения х.

Решим уравнение ⁴ √ | x – 3| ^{x + 1} = ³√ | x – 3| ^{x – 2} . Заметим, что х = 3 (3 – корень данного уравнения), | x – 3| 0 при х ≠ 3; можно перейти к уравнению | x – 3| ^{(x + 1)./ 4} = | x – 3|^{(x – 2) / 3} , которое равносильно совокупности | x – 3| = 1,

¼ ( x + 1) = ⅓( x – 2);

x – 3 = 1 или x – 3 = - 1 или 3x + 3 = 4x – 8 ,

x = 4 x = 2 x = 11.

Ответ: 2, 3, 4, 11.

Решим уравнение √ x² + 4x = √ 5| x + 2 | + 2 .

x ≥ - 2, или x - 2,

√ x² + 4x = √ 5x + 12; √ x² + 4x = √ - 5x – 8;

x ≥ - 2, x - 2,

x² + 4x = 5x + 12, x² + 4x = - 5x – 8,

x² + 4x ≥ 0; x² + 4x ≥ 0;

x ≥ 0, x ≤ - 4,

x² - x – 12 = 0; x² + 9x + 8 = 0;

x = 4; x = - 8.

Ответ: - 8; 4.

Решим уравнение | x |-2| x + 1| + 3| x + 2| = 4. Введём функции

f₁(x) = x, f₂(x) = x + 1, f₃(x) = x + 2. Найдём нули функций: 0, -1, -2.

Определим знаки функций на промежутках ( -∞; -2),( -2; -1),(-1;0) и ( 0;+∞);

f₁(x) - - - +

f₂(x) - - + +

f₃(x) - + + +

- 2 - 1 0 x

x - 2,

-2x = 8; x = - 4;

-2 ≤ x ≤ -1,

4x = - 4; x = - 1;

-1

4 = 4; -1

x ≥ 0,

2x = 0; x = 0. Ответ: {-4} U [ -1; 0].

Решим уравнение | x - | x - | x – 1 | | | = ½.

x ≥ 1, или x

| x - | x – x + 1| | = ½ ; | x - | x + x - 1| | = ½;

x ≥ 1, x

| x – 1| = ½ ; | x - | 2x – 1| | = ½ ;

x = ³/₂; x

x ≥ ½ или x

|1 – x | = ½ ; | 3x + 1| = ½ ;

x = ½ или x = ¹/₆ .

Ответ: ¹/₆ , ½, ³/₂ .

Решим уравнение 2 ^{| x |} = 11 - | x |.

x ≥ 0, или x

2 ^x = 11- x; 2 ^{- x} = 11+ x.

Системы решаем графически;

y y = 2 ^x y = 2 ^{- x} y

8 8

1 y = 11- x y = 11+ x 1

0 3 x - 3 0 x

Ответ: - 3; 3.

Решим уравнение | x – 3 | ^{3x² - 10x + 3} = 1. Оно равносильно совокупности | x – 3 | = 1,

3x² - 10x + 3 = 0,

x ≠ 3;

Ответ: 1/3; 2; 4.

При решении уравнения |log _√3 x²-2|-|log _√3x–2| =2 для удобства введём новую переменную, log _√3x = t. Решаем уравнение

| 2t – 2| - | t – 2| = 2, а затем, воспользовавшись подстановкой log _√3x = t, находим х.

При решении системы уравнений | 4x – 3 | + | 9 – 2y | = 2,

^{y – 4} / _{2x – 1} = 1

воспользуемся способом подстановки, учтём область определения;

x ≠ ½,

y = 2x + 3,

2 |4x – 3| = 2.

При решении системы уравнений | 0,2x – 1| = y – 2 ,

| 2y + 2 | = x + 8

можно использовать способ подстановки, но наиболее рациональным считаю графический способ решения.

II. Решим неравенство | x² - 3 | - 2 - 3

1 x²