Различные способы решения квадратных уравнений

Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет.

Г.В. Лейбниц (немецкий математик XVII-XVIII веков)

1. Из истории квадратных уравнений.

а) Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения: х² + х = , х² – х = 14

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

б) Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах² + bх = с, а 0

В уравнении коэффициенты, кромеа, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

в) Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

2. Франсуа Виет

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".

В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался Сеньор ДеЛаБиготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер в Париже. Ему было более шестидесяти лет».

Определение квадратного уравнения и их виды.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты, а, b, с - любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты, а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Квадратное уравнение

Полное Неполное

Приведенное а=1 если b=0 если с=0

Неприведенное а≠1 если b=0, c=0

Корнем квадратного уравнения ах²+bх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.

Можно сказать, и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).

Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.

Решение неполных квадратных уравнений

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

Пример: х²+18х=0

Общий множитель x выносим за скобки: х(х+18)=0

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

х=0; х+18=0

х=0; х=-18

Ответ: 0; -18.

Пример: 7х²-28=0

7х²=28 (:7)

х²=4

х=±2

Ответ:±2.

Пример:2х²+8=0

2х²=-8

х²=-4

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

Решение квадратных уравнений по формуле.

Рассмотрим уравнение вида: ах²+bх+с=0, а ≠ 0.

Умножим обе части уравнения ах²+bх+с=0, на 4а и последовательно имеем:

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,((2ах)² + 2ах∙b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Корни уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0 можно найти по формуле

, где выражение b² - 4ac= D называется дискриминантом.

Таким образом:

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac0,

то уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение ах² + bх + с = 0 имеет один корень x= .

3.Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Пример 1:3х²+4х-7=0

а=3, b=4, с= -7,

, ,

,

.

Ответ: х₁ =1, х₂= ,

Вывод: Плюс: Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

Минус: Нужно выучить формулы.

Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата двучлена.

Рассмотрим уравнение вида: ,

,

,

,

,если ,

,

Пример 1: х² + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем уравнение в виде: х² + 2 ∙ х ∙ 3 + 3² - 3² - 7 =0, (х + 3)² - 9 - 7 =0, (х + 3)² – 16=0. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)² = 16. Следовательно, х + 3 = -4, х₁ = -7, или х + 3 = 4, х₁ = 1.

Ответ: х₁ = -7, х₂ = 1.

Пример 2: 3х²+4х-7=0,

,

,

 ,

,

,

,

 .

Ответ: х₁= , х₂ =1

Вывод:

Плюс: За минимальное количество действий можно найти корни уравнений.

Минус: Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. Сложность выделения полного квадрата при дробных коэффициентах.

Решение квадратных уравнений разложением на множители.

При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).

Пример 1: х² + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители: х²+12х-2х-24 =0, х(х+12)-2(х+12)=0.

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х+12)(х-2)=0.

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х₁ =-12, х₂ =2. Это означает, что число 2 и -12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

Ответ: х₁=-12, х₂ =2.

Пример 2: 3х²+4х-7=0

Разложим левую часть на множители: 3х²+7х -3х -7=0, х(3х+7)-(3х+7)=0.

Следовательно, уравнение можно переписать так: (3х+7)(х-1)=0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х₁= , х₂ =1. Это означает, что число и1 являются корнями уравнения3х²+4х -7=0.

Ответ: х₁= , х₂ =1.

Вывод:

Плюс: Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Минус: Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.

Решение квадратных уравнений при помощи теоремы Виета.

Для решения полного квадратного уравнения ах²+bх+с=0 по теореме Виета нужно разделить всё уравнение на коэффициент а.

Для уравнения , если его корни, справедливы формулы:

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения положителен (q 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р 0, то оба корня отрицательны, если р , то оба корня положительны.