Различные способы решения геометрических задач на нахождение площади многоугольника.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Китовская средняя школа» (МОУ Китовская СШ)

Исследовательская работа по математике. Различные способы решения геометрических задач на нахождение площади многоугольника.

Работа выполнена ученицей 10 класса

Лисиной Алиной

Научный руководитель

учитель математики

Коровкина Надежда Михайловна.

Актуализация проекта:

• В ОГЭ И ЕГЭ по математике встречаются задания на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Решение этой задачи порой требует немало времени, дополнительных построений и знания формул площадей прямоугольников , прямоугольных треугольников, трапеции.

по клеточкам разбиением на простые фигуры формулой Пика

• Цель работы : исследование методов решения геометрической задачи на нахождение площади многоугольников.
• Задачи :

- Изучить литературу по выбранной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площади многоугольника.

- Проанализировать полученные результаты и систематизировать их.

- Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами

- Создать информационную карту: «Нахождение площади многоугольника "

Методы решения задач на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге.

1 Метод непосредственного применения формул.

2. Метод сложения площадей.

3. Метод вычитания площадей простых фигур из площади многоугольника, построенного вокруг данной фигуры

4. Формула Пика.

Метод применения формул

S трапеции= (а+в)/2*h

S =(10+2)/2 *6=36

Метод сложения

S1=(2*6)/2 =6

S2=2*6=12

S3= (6*6)/2=18

S=S1+S2+S3=6+12+18=36

Метод вычитания

S прямоугольника =10*6=60

S1=(2*6)/2 =6 S2= (6*6)/2=18  

S= S прямоугольника - (S1+S2)=60-(6+18)=36

Формула Пика .

Площадь

многоугольника

равна:

Г : 2 + В – 1

где

Г – число узлов решетки на границе многоугольника ( красные точки)

В – число узлов решетки внутри многоугольника. ( зеленые точки )

• Когда вершины многоугольника расположены в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться формулой Пика .

Формула Пика

Г=20 (точки на границе)

В=27 (точки внутри)

S=В+Г/2-1

S =27+10-1=36

Пример

Г = 15 В = 22

S= + 22 – 1=

= 28,5

1см

Как точно сосчитать число узлов клеток, лежащих точно на границе?

"Нахождение площади многоугольника с помощью формулы Пика"

Информационная карта

• Формула Пика S= В +Г/2 - 1
• НОД (9;3)=3, значит отрезок содержит 3-1= 2 узла
• НОД (5;4)=1, значит на этом отрезке узлов нет
• НОД (6;4)=2, значит на этом отрезке 2-1= 1 узел
• Г =7 (количество узлов на границе многоугольника)
• В=18 (количество узлов внутри многоугольника)
• S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5 клеток
•  

Вывод:

Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

• Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

S = Г : 2 + В - 1 .

• Формула Пика очень проста для запоминания.
• Формула Пика очень удобна и проста в применении.
• Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Задания ЕГЭ - 2019

• Ььь

В = О, Г = 4

В = 2, Г = 7

S = 0 + 4/2 = 2

S = 2 + 7/2 = 5,5