Прогрессии. Последовательность.

Задание арифметической прогрессии формулой n – ого члена

Дано: (а n ) – арифметическая прогрессия , a 1 - первый член прогрессии, d – разность.

a 2 = a 1 + d

a 3 = a 2 + d =(a 1 + d) + d = a 1 +2d

a 4 = a 3 + d =(a 1 +2d) +d = a 1 +3d

a 5 = a 4 + d =(a 1 +3d) +d = a 1 +4d

и т.д.

a n = a 1 + (n-1)·d

Любой член арифметической прогрессии, кроме первого, есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов.

Способы задания арифметической прогрессии

а)

б)

в)

Примеры последовательностей

1) 2; 5; 8; 11;…

2) 20; 17; 14; 11;… 3) 8; 8; 8; 8;…

Дано: ( a n ): 2; 7; 12; 22; 27; …

Найти: а) разность между последующим членом

и предыдущим;

б) ( a n ) – арифметическая прогрессия?

• Решение:

a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = a 5 – a 4 =7 – 2 = 12 – 7= 27 – 22 = 5 ,

но a 4 – a 3 =22 – 12 =10,

10≠5,

значит, …

а n не арифметическая прогрессия

Дано: ( a n ) – арифметическая прогрессия

d = a 4 – a 3 = 9 – 5 = 4,

a 2 = a 3 – d= 5 – 4 = 1.

Или a 3 =( a 2 + a 4 ):2, тогда

a 2 = 2 a 3 – a 4 = 2·5 – 9 = 1

Ответ: a 2 =1, d =4.

a 7 = ( a 6 + a 8 ): 2,

a 7 =(–15 – 11):2= – 13,

d = a 8 – a 7 = –11 –(–13)= 2 .

Ответ: a 7 = –13, d =2.

Дано: а 1 =3; d = 2; a n = a 1 +( n - 1 )· d . Найти пять первых членов арифметической прогрессии .

• Решение:

а 2 = a 1 + d= 3+2=…

a 3 = a 1 +2d=….

a 4 =…

a 5 =…

Ответ:

В арифметической прогрессии ( a n ) найти a 2 + a 9 ,

если a 1 + a 10 = 120.

• Решение:

a 1 + a 10 = a 1 +( a 1 +9d)= 120,

2 a 1 +9d= ( a 1 +d) + ( a 1 +8d)=

Ответ:

Является ли число 12 членом арифметической прогрессии - 10; - 8; -6; …?

• Решение:

d= a 2 – a 1 =– 8 – (–10)=2,

a 1 + (n– 1)· d = a n ,

– 10 +(n– 1)·2 = 12,

Т.к. 12 – целое число, значит a 12 =12.

Ответ: число 12 является 12-м членом

арифметической прогрессии.

Дополнительное задание

В арифметической прогрессии найти a 10 , если

a 25 − a 20 = 10 и a 16 = 13.

• Решение:

a 25 = a 1 +24d, a 2 0 = a 1 +19d, a 16 = a 1 +15d.

( a 1 +24d) – ( a 1 +19d)=10,

a 1 +15d =13.

Решая эту систему, найдем , , .

Тогда a 1 0 = a 1 + 9 d=

Ответ:

Итог урока

• Какую последовательность называют арифметической прогрессией?
• Что называют разностью арифметической прогрессии? Как ее найти?
• Какова формула n- го члена арифметической прогрессии?
• Какими свойствами обладает арифметическая прогрессия?