Проектная работа по алгебре

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Гимназия №1 села Верхнеяркеево муниципального района

Илишевский район Республика Башкортостан

Проектная работа по теме:

«Построение графиков функций

при решении задания №11 ОГЭ»

Работу выполнила:

ученица 9а класса

Иванова Татьяна.

Руководитель:

учитель математики

Камалова Райля Равильевна

2022-2023 учебный год

Содержание

1. Введение

2. Теоретическая часть

3. Практическая часть

4. Заключение

ВВЕДЕНИЕ

Каждый день человек встречается с таким понятием, как зависимость одной величины от другой – зависимость расстояния от скорости, цены от количества, производительности от работоспособности и т.д. При этом мы даже не задумываемся, что имеем дело с очень сложным понятием – функции.

При подготовке к экзаменам по математике одно из заданий ОГЭ из модуля «Алгебра» – это задания на построение графиков функций. Я взяла на изучение эту тему, поскольку задания на построение графиков функций вызывали у меня затруднения, а опыт, приобретенный после исследования, очень пригодится мне при выполнении заданий ОГЭ.

Актуальность исследовательской работы: умение и навыки строить графики функций необходимы школьникам как при сдаче экзаменов ОГЭ, так и в дальнейшем при обучении в учебных заведениях различного профиля.

Объект исследования: графики функций, материалы ОГЭ.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В 11-ом задании ОГЭ по математике идет работа с графиками функций. В большинстве случаев требуется установить соответствие между графиком функции и математическим выражением (формулой). В задании сопоставляется различная информация о функциях. Необходимо находить и  использовать в выполнении задания область определения функции, ее промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, уметь читать графики функций. Работать надо с функциями, описывающими прямую пропорциональную зависимость, линейными функциями, гиперболами, квадратичными функциями. Хотя на самом экзамене мы ожидаем работу именно с графиками функций, тем не менее в некоторых заданиях дается вместо рисунков их описание. Это делается, чтобы подчеркнуть те детали, на которые надо обратить внимание при работе с графиками функций.

Так как в данном задании речь идет о функциях и их графиках, приведем основные понятия и формулы.

Рассмотрим линейную функцию:

y = kx + b

где  k – угловой коэффициент, b – свободный член

Рассмотрим случай квадратичной функции:

Также вспомним, что такое коренная функция и модуль:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1. На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ: 1) k0, b                   2) k0, b0                    3) k

Рассмотрим коэффициенты под №3. Если k90⁰) угол с положительным направлением оси абсцисс (Ох). Если bВ–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, так как они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (⁰). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов bБ–1. В паре коэффициентов №2 b0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ: 213

Задание 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) у=–х²–4х–3                    Б) у=–х²+4х–3                    В) у=х²+4х+3

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х² (здесь а=1, т.е. а0). При а0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с= –3

Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x₀ отрицателен, значит, А-1, а Б-2.

Ответ: 123

Задание 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) y = x² 2) y = x/2 3) y = 2/x

Для решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно: y = x² — парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а = 1

x/2 — прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0,  а = 1/2

y = 2/x — гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2

Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая — В.

Ответ: 132

Задание 4. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции: A) y = 3x Б) y = -3x В) y = (1/3)x

Графики:

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида: y = kx + b

График данной функции зависит от k и b.

• если k

• если k 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках

• коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b  0, то выше ноля в точке y = b

• если k 1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3

Ответ: 231

Задание 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции: A) y = -3/x Б) y = 3/x В) y = 1/(3x)

Графики:

В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

Общие правила:

• если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти

• если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях

Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:

• чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости

и наоборот:

• чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям

Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

Ответ: 231

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Я научилась выполнять задания на построение графиков функций ОГЭ по математике, исследовала методы их выполнения, то есть я могу сказать, что достигла поставленной цели.

Кроме того, я приобрела исследовательский подход к решению заданий, что тоже очень поможет мне на экзамене ОГЭ по математике и в моём дальнейшем обучении в школе и при получении профессии.

Мною были выявлены те умения, которые необходимы при решении задания №11 экзамена по математике.