Проект "Прогрессии"

Паспорт проектной работы

Исторические факты о прогрессиях

Автор работы : Федураева Ирина ученица 9-го класса

Папирус Ахмеса – это первый источник древности, в котором описаны задачи на арифметические прогрессии. Задачи в нем имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т.п.

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Древневавилонский клинописный текст. На изображенном участке содержится 16 задач с решениями, относящиеся к расчету плотин, валов, колодцев.

Наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу : в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ее использовали и до него.

1 2 +2 2 +3 2 +…+ n 2 = 1/6n(n+1)(2n+1) и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Архимед (ок. 287–212 до н.э.)

Уже в 5 веке до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

1+2+3+…+ n=2+4+6+…+2n=n(n+1) ,

1+3+6+…+(2 n+1)=(n+1)2 и др.

Непрерывная геометрическая пропорция:

a : b=b:a , в котором числа a и b , образуют геометрическую прогрессию.

Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Взгляд на прогрессии, как на пропорции, сохранился и у многих математиков 17 и даже 18 веков.

Исаак Барроу(1630–1677), учитель И. Ньютона в Кембриджском университете.

Классная работа

• у = х 2 , х
• у= х 2 , х
• у= х 2
• у= х 2 , х

Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. -Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости.

Наградой за 64-ю клетку должно было быть

18 446 744 073 709 551 615 зёрен.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Определение числовой последовательности

Функцию вида у= f(x), x

называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у= f(n) или ( y n ) или у 1 , у 2 , …, у n ,… ,

где n – индекс, характеризующий порядковый номер члена последовательности.

Примеры бесконечных числовых последовательностей, известных ещё в древности

• 1,2,3,4,5,….
• 2,4,6,8,10,….
• 1,3,5,7,9,….
• 1,4,9,16,25,….
• 2,3,5,7,11,….
• 1,

Способы задания последовательностей

• Аналитический (формулой n -го члена)
• Словесный (описание)
• Реккурентный (формулой, выражающей n -ый член последовательности через предыдущий и 1-2 первых члена последовательности)

§ 15 стр.118 – 125

№ 15.4(а,в), №15.12(в,г), №15.15(в,г)

Прогрессия в легендах

К началу 1600 года- расцвету легенд о вампирах - население Земли составляло около 540 миллионов человек. Если бы кровопийца укусила хотя бы одного человека в январе, то в феврале на планете было бы уже два вампира. В марте , естественно – четыре, потому что укушенному тоже требовалась свежая кровь. И так далее уже через 2.5 года на Земле не осталось бы не одного человека . Профессор Эфтимиу сделал вывод что вампиров не существует, поскольку их существование противоречит существованию людского рода

Прогрессии в экономике.

Автор: ученица 9 класса Толкачёва Алёна

Наращенная сумма.

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются наращенной суммой. Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 рублей, то накопленная сумма за 5 лет при применении сложных и простых процентов будет выглядеть так:

Практическая задача .

Формула вычисления наращенной суммы

для сложных процентов Snt=(1+a)n S0

для простых процентов Snt=(1+n*a)n S0

Задача

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс.руб. по 12% на 3 года. Рассчитайте наращенную сумму если проценты а) простые б) сложные.

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000=68 000 руб.

По формуле сложных процентов

Sn=(1+0.12)3*50 000=70 246 руб.

Прогрессии в экономике, банковском деле

Автор презентации

ученица 9 класса

Толкачёва Алёна

Экономика — это часть повседневной жизни людей.

Слово " экономика " произошло от греческого oikonomike , буквально - искусство ведения домашнего хозяйства.

История возникновения процента

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто», то есть процентом называется сотая часть числа.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Символ  появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: с t о .

по ошибке вместо с t о было набрано  .

История банков

Банки – весьма древнее экономическое изобретение. Считается, что первые банки возникли в Вавилоне в VII – VI вв. до н.э.

Затем эстафету подхватила Древняя Греция. Здесь наиболее чтимые храмы стали принимать деньги на хранение на время войн, поскольку воюющие стороны считали недопустимым грабить святилища.

Но едва в хранилищах древних банков появились мешки с сокровищами, как в их сторону обратился взор местных предпринимателей — купцов и ремесленников. У них возник вполне резонный вопрос: а нельзя ли на время воспользоваться чужими сбережениями для расширения масштабов своих операций? Естественно, за плату!

Именно этому и обязаны банки своим рождением.

Уже в далёкой древности было широко распространено ростовщичество- дача денег взаймы под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20% и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Плата за пользование кредитом

Плата за пользование вкладом

Простые проценты

Вкладчик открыл в банке счёт и положил на него S 0 =150000 руб. сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18 % в год. Какой будет сумма S, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.

Дано:S 0 =150000, p=18, n=4. По формуле (2) имеем

S 4 =150000*(1+18*4/100) = 258000 руб.

За 4 года вклад увеличился на 108000 руб.=258000-150000 руб. Коэффициент наращивания по формуле (3) равен S 4 /S 0 =1,72. Он показывает, что за 4 года первоначальный вклад S увеличился в 1,72 раза.

Сложные проценты.

Некто планирует разместить в банке вклад в 10 000 руб. на длительный срок. Процентная ставка в банке – 10 % годовых.

Результаты расчетов представим следующей таблицей .

1

Простой%

11000

2

Сложный %

12000

3

11000

13000

12100

4

5

13310

14000

15000

6

14641

7

16105

16000

17000

17716

8

19487

18000

9

19000

21436

10

23579

20000

25937

Кредиты.

Термин  «кредит»  (от лат. credere — доверять, credit — он верит, creditum —- ссуда)

Кредит (в банковском деле) — это:

денежные средства, предоставленные банком или иной кредитной организацией (кредитором) по кредитному договору заемщику на условиях возвратности и, как правило, платности (в виде процентов за пользование кредитом).

По закону о банках каждый коммерческий банк обязан часть поступивших к нему денег хранить в ЦБ, который ими распоряжается. Это так называемые обязательные резервы банка. Они устанавливаются как определенный процент от суммы вклада, поступившего в банк. Остальными деньгами – свободными резервами – банк распоряжается самостоятельно: может дать в кредит, может купить на них ценные бумаги

Величина обязательных резервов равна

А свободных резервов

Норма резервных требований установлена на уровне 20%.

Свободные резервы системы банков образуют последовательность:

Задача из арифметики Магницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:

"Если по-твоему цена  лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“

Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить  лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение задачи из арифметики Магницкого

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической

прогрессией со знаменателем q =2, n = 24.

3. Попытаемся подсчитать сумму

4. Имеем

Стоит ли брать кредит?

Банк дал Вам согласие на выдачу кредита в размере – 100 000 рублей,

по ставке – 15,5% годовых, сроком на 2 года.

Найдём ежемесячный платёж, а также рассчитаем переплату по кредиту.

Ежемесячный платёж состоит из двух частей:

- выплата части основного долга,

- выплата процентов по кредиту, которые набежали за период (в нашем примере, месяц) на не выплаченную часть долга.

Рассчитать ежемесячный платёж можно по формуле

Рассчитаем переплату по кредиту

Таких платежей за два года

будет выплачено:

4 872,45 × 24 = 116 938,9 рублей.

116 938,9 – 100 000 = 16 938,9 рублей (переплата)

Заключение.

Практическая значимость работы.

Связка «экономика - математика - экономика» показывает, что «абстрактная» математика, оказывается, имеет и самое непосредственное практическое значение, как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Библиографический список

1.Белоусов Р.С. и др. Я познаю мир. Экономика. Энциклопедия. Москва ООО

издательства АСТ, 2001 – 489с.

2.Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. М.: «Вита-Пресс», 2002, - 96с.

3. Дорофеев Г.В. Процентные вычисления. СПб, 1997.

4. Липсиц И.В. Экономика М.: Вита – Пресс, 1996 – 352с.

5.Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. Челябинск: Южно-Уральское книжное издательство, 1996, -128с.

6.Симонов А.С. О математических моделях экономики в школьном курсе математики. Математика в школе. 1998.№4

7.Симонов А.С. Проценты и банковские расчеты. Математика в школе.1998.

8. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова.Математика.8-9 классы: сборник элективных курсов. Волгоград: Учитель, 2007-205с

Ресурсы интернет: www.bm.ru.