Применение производной к исследованию функции

Инструкционная карта для самостоятельного изучения темы: «Применение производной к исследованию функции»

Нахождение критических точек функции.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которые её производная равна нулю или не существует, называется критическими точками этой функции.

Прием отыскания критических точек.

1. Найдите область определения функции.

2. Запишите производную заданной функции.

3. Решите уравнение f '(x)=0.

4. Сделайте вывод, какие точки являются критическими.

Упражнения.

1. Найдите критические точки функций:

а) f(x)=; б) f(x)=;

в) f(x)=; г) f(x).

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

Теорема. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке промежутка I, то f возрастает на этом промежутке. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке промежутка I, то она убывает на этом промежутке.

Прием отыскания промежутков убывания (возрастания) функции.

1. Найдите область определения функции.

2. Запишите производную заданной функции.

3. Найдите, при каких значениях независимой переменной значения производной положительны (отрицательны).

4. Сделайте вывод о том, на каком множестве заданная функция возрастает (убывает).

Упражнения.

1. Используя прием нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдите промежутки:

а) возрастания функции

б) убывания функции

2. Укажите, при каких значениях независимо переменной функции: возрастают, а при каких убывают.

Нахождение экстремумов функции.

Теорема. Если в точке Х производная меняет знак с минуса на плюс, то точка Х есть точка минимума. Если в точке Х производная меняет знак с плюса на минус, то точка Х есть точка максимума.

Прием отыскания точек максимума и минимума.

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите производную данной функции.

3. Отыщите критические точки заданной функции.

4. «Испытайте» каждую из найденных критических точек на изменение знака производной.

5. На основании теоремы сделайте вывод о том, является ли критическая точка точкой максимума (минимума) или нет.

Упражнения.

1. Используя прием нахождения точек максимума (минимума) функции, найдите:

а) точки максимума функции

б) точки минимума функции

2. Найдите точки максимума ( минимума) функции:

а) б)

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Прием нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b].

1. Найдите производную функции.

2. Найдите критические точки функции.

3. Найдите значения функции в критических точках и на их концах отрезка.

4. Выберите из найденных чисел (значения функции) наибольшее и наименьшее.

Упражнения.

1. Найдите критические точки функции f, если:

а) б)

в)

2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) на отрезке [-2;2];

б) на отрезке [0;1];

в) на отрезке [1;4];

г) на отрезке [0;2].