Применение производной к исследованию функций

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Применение производной к исследованию функций

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Устные задания

у

1

На рисунке изображен график функции у = f(x) . Найдите число промежутков возрастания.

y = f (x)

1

0

1

х

4

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Устные задания

у

Исследуйте функцию на монотонность по графику ее производной. В ответ запишите наибольшую длину отрезка убывания.

2

y = f ′(x)

1

0

1

х

3

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

у

Устные задания

y = f ′(x)

1

3

На рисунке изображен график производной функции f(x) . Найдите число промежутков возрастания.

1

0

х

-

-

-

+

+

2

х

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Устные задания

у

y = f (x)

4

Определите по графику функции характер точек экстремума и экстремумы функции y = f(x ) .

1

-2

1

0

х

-2

2

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Устные задания

у

Определите количество точек экстремума по графику производной функции y = f(x) .

5

y = f ′(x)

1

0

1

х

4

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

6

На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите точку экстремума функции f (x ) и определите ее характер .

Решите устно!

1

3

-3

4

Ответ: -3 .

Ответ: 4 .

4

2

7

- 1

Ответ: -1 .

Ответ: 7 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-3; 8). Найдите количество точек минимума функции y = f (x) на отрезке [-2; 7] .

7

Ответ: 1 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задания ЕГЭ

1 . На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале ( a ; b ). Найдите точку экстремума функции f (x ) .

2 . На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1; x 2). Найдите количество точек максимума (минимума) функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] .

3 . На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1; x 2). Найдите промежутки возрастания (убывания) функции f ( x ).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 1. На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( ; ). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Найдем промежутки убывания функции, т.е. промежутки на которых f´ ( x )

6

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 2. На рисунке изображен график производной функции f ( x ), определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите промежутки убывания функции f ( x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

1

Найдем промежутки убывания функции, т.е. промежутки на которых f´ ( x )

6

-4

-10

Наибольшую длину из них имеет промежуток (- 10 ; - 4 )

Ответ: 6 .

2

Решение.

Решение аналогично: ищем промежутки на которых f´ ( x )

3

Наибольший из них имеет длину равную 3.

Ответ: 3 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

0. В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна: -1-(-7) = 6. Ответ: 6 . Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина " width="640"

Задача 3. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

-10

- 7

-1

2

6

Решение.

В этой задаче необходимо сначала найти промежутки возрастания функции, т.е. промежутки на которых f ´ ( x ) 0.

В нашем случае их три: (-11; -10), (-7; -1) и (2; 3), наибольшую длину из них, очевидно, имеет промежуток (-7; -1), его длина равна:

-1-(-7) = 6.

Ответ: 6 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек экстремума функции y = f (x) на отрезке [ -3 ; 10 ] .

1

Ответ: 4 .

2

Ответ: 4 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 5. На рисунке изображен график производной функции y = f (x) , определенной на интервале ( x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек максимума функции y = f (x) на отрезке [ a; b ] .

Решение.

1

Найдем точки в которых

Это: -3; 3; 5.

x 0   - точка максимума, если производная при переходе через x 0   меняет свой знак с плюса на минус .

+

-

b

a

Условие выполняется в точке x = 3 .

Ответ: 1 .

2

Решение.

Решение аналогично.

+

b

+

+

-

-

-

Условие выполняется в точках: -1; 8; 13 .

a

Ответ: 3 .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f (x) , определенной на интервале (—7; 5). Найдите точку экстремума функции f (x ) на отрезке [-6; 4].

-3

+

-

-6

4

Решение.

Отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи.

На этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 (в точке -3) и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -3 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.

Ответ: -3.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина