Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин

Методические основы разработки обучения с применением активной оценки. Разработка занятия «Правила вычисления производных».

Цель урока для учителя: планируется, что к концу урока учащиеся будут знать правила вычисления производных; уметь применять знания при решении примеров.

Задачи личностного развития учащихся: развивать мыслительную деятельность учащихся, вести диалог, работать в команде; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; способствовать воспитанию культуры взаимоотношений.

Цель урока «на языке ученика»: научимся овладеть умениям вычисления производной, степенной функции; узнаем правила дифференцирования, правильно употреблять термины.

Ход урока

1. Интеллектуально-мотивационная разминка (2 мин). Ребята, на доске записан девиз нашего урока: «Умел ошибиться – умей и поправиться». Как вы понимаете эту пословицу? Подберите еще пословицы и поговорки, которые на ваш взгляд, по смыслу наиболее подходят к девизу урока (Ответы детей). Определите слово, которое мы сегодня будем применять знания при решении примеров: это слово обозначает подсчитывание, высчитывание, исчисление, калькулирование, среднего рода, 2-го склонения (вычисление). На второй строке запишите анаграмму (перемешивание букв) следующего слова: иорпдзявнао (производная). Я желаю ребята, чтобы пословица стала девизом не только сегодняшнего урока, но и всей жизни. А на урок желаю вам хорошего рабочего настроения.

2. Введение в тему урока. Создание проблемной ситуации (20 мин). Ребята, чтобы узнать тему нашего урока, проводим диктант с последующей проверкой. Найдите производную функции: Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой :

Касательная к графику функции в точке с абсциссой имеет угловой коэффициент k. Найдите , если: Ребята, обменяйтесь тетрадями. Возьмите карандаши и проверяем правильность выполнения диктанта.

Давайте вспомним определение производной. Что такое приращение аргумента, приращение функции? Как определяется разностное отношение? Опишите алгоритм нахождения производной (Ответы детей). Молодцы.

Ребята, а ведь тема нашего сегодняшнего урока называется «Правила вычисления производных». Справедлива теорема: «Производная суммы:

Производная произведения:

Следствие 1.

Производная частного:

_{Производная степенной функции:}

_{Что общего у данных теорем? Чем отличаются? (Ответы). Молодцы. Предлагаю проверить, совпадает ли наш вывод с правилом учебника. См. стр. 113}

1. Закрепление и обобщение полученных знаний на уроке. Работа в парах (15 мин). Я предлагаю вам работать в парах. Найти производные функций:

Карточки с заданиями.

Вариант 1 Вариант 2

Работа по учебнику: стр. 117 Задание №208 (а,б), №209 (а,б), №210 (а,б), №213, №215.

1. Ключевой вопрос по теме урока (5 мин). Как найти производную суммы? Как найти производную произведения? Как найти производную частного? Как найти производную степенной функции?

2. Домашнее задание (1 мин). Откройте учебники и ознакомьтесь с домашним заданием. Все ли вам понятно? стр. 117 Задание №208 (в,г), №209 (в,г), №210 (в,г), №214, №215.

3. Рефлексия (2 мин). Отметьте карандашом зеленого цвета те вопросы, которые не вызывают сомнений по теме нашего урока, а в которых вы затрудняетесь – красным. Обменяйтесь карточками и просмотрите на них. Спросите у соседа, возможно, он сможет вам доступно объяснить то, что вам непонятно. Просигнализируйте, если сегодня на уроке я все понял – зеленый цвет; не понял или затрудняюсь – желтый; нуждаюсь в помощи друга или учителя в некоторых вопросах – красный.

Методические основы разработки обучения с применением активной оценки. Разработка занятия «Производные тригонометрических функций»

Тип занятия изучение нового материала

Цель учебного занятия для учителя: планируется, что к окончанию занятия учащиеся будут знать вывод формул производных тригонометрических функций и уметь научится использовать их для вычисления производных данных функции.

Задачи личностного развития учащихся: воспитывать адаптивность к современным условиям обучения; обеспечить формирование у учащихся сравнивать познавательные объекты; обеспечить условия для развития у учащихся умений анализировать.

Нашобузу:

1. Знаю формулы производных тригонометрических функций для вычисления.

2. Смогу использовать их для вычисления производных данных функции.

3. Смогу организовать вычисление производных тригонометрических функций по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования.

Форма организации познавательной деятельности: индивидуальная, парная, групповая.

Ключевые вопросы по теме: Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Как думаете, связана ли данная теорема с тригонометрией?

Оборудование и дидактический материал: компьютер, интерактивная доска, мультимедийный проектор, раздаточный материал, учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» под редакцией А.Н. Колмогорова

Ход учебного занятия.

Приложение 1

Вариант 1

Решив эти примеры, вы расшифруете фамилию французского математика, который ввел термин «производная».

Ответ: Лагранж

Вариант 2

Расшифруйте, как Исаак Ньютон называл производную функции?

Ответ: Флюксия

Вариант 3

Решив эти примеры, вы узнаете имя и фамилию крупного французского математика, доказавшего многие теоремы о пределах, которыми мы пользуемся при вычислении производных.

Ответ: Луи Коше.

Приложение 2

Тест по теме: «Производная тригонометрических функций»

Вариант I Вариант II

Методические основы разработки обучения с применением активной оценки. Разработка занятия «Производная сложной функции»

Тип занятия изучение нового материала

Цель учебного занятия для учителя: планируется, что к окончанию занятия учащиеся будут знать вывод формулы производной сложной функции и уметь научится использовать ее для вычисления производной данной функции.

Задачи личностного развития учащихся: способствовать развитию мыслительных операций, развитию способностей к самооценке; исследовательских умений, культуры индивидуальной и парной работы

Нашобузу:

1. Знаю формулу производной сложной функции для вычисления.

2. Смогу использовать ее для вычисления производной данной функции.

3. Смогу организовать вычисление производной сложной функции по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования.

Форма организации познавательной деятельности: индивидуальная, парная, групповая.

Оборудование и дидактический материал: компьютер, интерактивная доска, мультимедийный проектор, раздаточный материал, учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» под редакцией А.Н. Колмогорова

Ход учебного занятия.

Приложение 3

Решение:

Приложение 4

1. Найдите общий синоним таким словам, как непростая, запутанная, затруднительная.

2. Вставьте пропущенное слово «Математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами из другого множества, называется … »

Приложение 5

Вариант 1

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

2. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

3. Вычислить производную для функции : а) ; б) ;

в)

Вариант 2

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

2. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

3. Вычислить производную для функции : а) ; б) ;

в)

Вариант 3

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

2. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

3. Вычислить производную для функции : а) ; б) ;

в)

Вариант 4

Выберите правильный вариант ответа

1. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

2. Производная функции равна: а) ; б) ; в)

3. Вычислить производную для функции : а) ; б) ;

в) .

Ключи ответов

Методические основы разработки обучения с применением активной оценки. Разработка занятия «Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин»

Тип занятия изучение нового материала

Цель учебного занятия для учителя: планируется, что к окончанию урока учащиеся будут знать об алгоритме отыскания наименьшего и наибольшего значений, а также о навыке отыскания наибольших и наименьших значений непрерывной функции на промежутке.

Задачи личностного развития учащихся: формировать умения анализировать, сопоставлять данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы, оценивать влияние условий на результат; развивать логическое мышление учащихся.

Нашобузу:

1. Знаю алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке.

2. Смогу находить наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на промежутке по алгоритму, изученному на уроке.

3. Смогу применять алгоритм для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на промежутке для решения задач.

Форма организации познавательной деятельности: индивидуальная, парная, групповая.

Оборудование и дидактический материал: компьютер, интерактивная доска, мультимедийный проектор, раздаточный материал, учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» под редакцией А.Г. Мордковича

Ход урока.

Приложение 6

Тест

1. Как называется точка x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x, не равных x₀, из этой окрестности выполняется неравенство f (x) f(x₀)?

а) Точкой максимума функции f (x)

б) Точкой минимума функции f (x)

2. Как называется точка x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x, не равных x₀, из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f (x₀)?

а) Точкой максимума функции f(x)

б) Точкой минимума функции f(x)

3. Как называют точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема?

а) Точками минимума этой функции

б) Точками максимума этой функции

в) Критическими точками этой функции

г) Достаточными точками этой функции

4. Чему равна точка минимума функции f(x) = |x|?

а) –1

б) 0

в) 1

5. Найдите экстремумы функции f(x) = x² e^x

а) e

б) – 2

в) 0

г) 1

д) 2

6. Найдите критические точки функции f(x) = x³ – 6x² – 15x +7?

a) –1

б) 1

в) 3

г) 5

7. Чему равна точка максимума функции f(x) = 3x – x³?

а) –1

б) 0

в) 1

г) 2

Ответы: 1 – б, 2 – а, 3 – в, 4 – б, 5 – б, в, 6 – а, г, 7 – г.

Приложение 7

1. Какое слово неверно разделено на слоги для переноса?

сум-ма

точ-ка

на-ибол-ьш-и-й

чис-ло

1. Найди в ряду слово, противоположное по смыслу первому слову:

Крупный, огромный, наименьший, гигантский, великий

1. В каком слове ударение падает на 2 слог?

умножение

разность

доказательство

значение

1. Найди слово с ошибкой:

вычитание

теорема

велечина

тождество

Приложение 8

Проверочная работа

1. Найди наибольшее и наименьшее значения заданной функции, не используя производную:

2. Определи наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [ 7;9]

3. Найди наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: на отрезке [0;6]

4. Периметр прямоугольника составляет 80 см. Найди, каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь.

Даны равнобедренные треугольники с периметром 44. Вычисли стороны того треугольника, у которого площадь наибольшая

Приложение 9

К элементам активной оценки относятся:

1. Цели урока.

2. Критерии достижения цели.

3. Ключевой вопрос.

4. Техника постановки вопросов.

5. Самооценка.

6. Взаимооценка.

7. Обратная связь.

Педагог устанавливает цели урока и определяет их так, чтобы они были понятны детям. Самое основное – это понимать, куда вы идете и чего желаете достичь. Вовлечение учащихся в определение личных целей на учебное занятие или тему обладает большое значение, так как для них это считается важным мотивирующим условием.

Компонентом активной оценки, который неразрывно связан с целями и создает мост к обратной информации, являются критерии достижения цели, которые замечают, была ли и насколько была достигнута цель.

Создание критериев достижения целей необычайно полезно при формировании тестов. Это очень значительная деталь: ученик выяснит об условиях теста не перед уроком повторения темы, а перед началом ее изучения. Благодаря чему он способен самостоятельно отслеживать свои достижения, определяя, что он уже изучил и над чем должен потрудиться.

Понимание учащимися критериев достижения целей повышает их обязанность и самостоятельность. Озвучивание ученикам условий перед занятиями содействует процессу обучения и делает его открытым. Главное, что ученики знают, что тесты, контрольные, практические работы будут составлены и оценены непосредственно по этим критериям.

В активной оценке ребёнок способен заметить, какие успехи он обладает, что нового изучил. Данную функцию выполняет обратная информация, плотно связанная с критериями достижения цели. В работах устанавливается не балл, а отзыв сравнительно проделанной работы, примечание в устной или письменной форме (что выполнено хорошо, а что и как можно откорректировать).

Обратная информация включает три обязательных элемента:

• положительные аспекты работы учащегося;

• то, что потребует исправления (улучшения);

• информация о том, как следует осуществить исправления, какой следующий этап в развитии может сделать учащийся.

Обратная информация не обязательно должна исходить от педагога, ее создателем может быть и другой ученик. Задача учителя – организовать группу учащихся к использованию взаимной оценки. Дети должны понимать основы изложения обратной информации и помнить: подавая ее, они обращаются к критериям успеха.

Ученик способен исправить задание с помощью педагога либо через сравнение своей работы с примером, а после самостоятельно определить, что он уже изучил – а что еще создает проблему. И на этом основывается самооценка. В классе, где царит обстановка обучения, учащиеся не будут иметь проблем, как с подробной самооценкой, так и с сообщением учителю, что они еще не усвоили, или не понимают. Они могут обратиться, с просьбой выбрать соответствующее задание на закрепление или на выявление трудных и неясных вопросов. Такая обстановка целиком меняет роли. Учащийся и педагог на таком занятии – союзники.

Педагог также должен обладать формулировать ключевые вопросы, так как они способствуют активизации мышления. Благодаря хорошей формулировке вопроса, учащиеся представляют более обширный контекст проблемы, хорошие вопросы стимулируют к поиску решений и более активному участию в процессе преподавания. Человек с удовольствием учится тому, в чем заинтересован, что его интригует, что следует для достижения цели. Ребята стараются осознать и легко запоминают то, что им любопытно. Главный вопрос примечателен тем, что одновременно выполняет ряд функций: пробуждает любопытство и интерес к теме; поощряет мыслительную работу; привлекает внимание и ставит вызов; способствует освоению материала; тесно связан с целью урока или серии уроков; направлен на реализацию целей урока.

Педагог должен владеть техникой постановки вопросов. Предложенная в активной оценке техника постановки вопросов базируется на том, что, задавая вопрос, необходимо оставить время на размышление, соизмеримое степени тяжести вопроса и достаточное, чтобы даже робкие и нерешительные дети смогли сконцентрироваться, и только тогда выбрать ученика, который даст ответ. Важно, чтобы учитель сам решил, кого спросить, а это связано с отказом от поднимания учащимися рук. Принцип неподнимания рук помогает преподавателю лучше контролировать, насколько равномерно он опрашивает всех обучающихся, не обходит одних и не выделяет других. Можно еще дополнить жеребьевку: тянуть карточки с именами учеников – это внесет элемент игры-лотереи и усовершенствует атмосферу, создаст ее более безопасной и подходящей для обучения. Если педагог хочет, чтобы дети с удовольствием отвечали на его вопросы, необходимо научиться правильно, отвечать на их неправильные ответы. Часто неверный ответ подразумевает, каким образом учащиеся делают типичные ошибки. Можно поблагодарить ребенка за неправильный ответ, потому что иногда он помогает найти верное направление решения. Следует допускать ответ «я не знаю». Это важная информация о том, что ребёнок еще не изучил.