Презентация " Угол между прямой и плоскостью"

Автор Мухамбетова С.Р., учитель математики МАОУ Лицей №1 города Балаково Саратовской области

Переход к следующему слайду

Переход к предыдущему слайду

Переход к содержанию

1)Угол между прямой и плоскостью а)Определение угла между наклонной и плоскостью

б)О величине угла между наклонной и плоскостью

в)Построение проекций угла между прямой и плоскостью

• б)О величине угла между наклонной и плоскостью в)Построение проекций угла между прямой и плоскостью

2)Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования.

3)Ортогональное проектирование . Свойства ортогонального проектирования.

На рисунке 13 показана наклонная AB , OB  = Пр α AB ,

Определение.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на плоскость.

ABO – угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними

по определению равен 0°.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между

ними равен 90°.

Если β – угол между прямой и плоскостью, то 0° b через

точку B так, чтобы OC     b . Пусть ABO  = β, OBC  = γ, ABC  = φ. Рассматривая прямоугольные треугольники ABO , OBC ,

ACB , имеем

cos φ = cos β cos γ.

Мы получили формулу трех косинусов . Обратите внимание на то, что плоскости углов β и γ взаимно перпендикулярны.

Рис. 13

О величине угла между наклонной и плоскостью.

Угол между плоскостью и прямой, лежащей в плоскости или параллельной плоскости, считается равным 0 ° .

Угол между плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости, считается равным 90 ° .

Таким образом, 0 ≤ (а;α) ≤ 90 °

На рисунке 14: АС и АВ- соответственно перпендикуляр и наклонная к плоскости α, проведенные из точки А; φ - угол между наклонной АВ и ее проекцией ВС на плоскость α; β - угол между наклонной АВ и произвольной прямой а, лежащей в плоскости α и проходящей через основание В наклонной АВ; АD- перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А. Тогда: sin φ =АС∕АВ; sinβ=АD∕АВ.

Имеем АС sin φ

наклонной и плоскостью не больше, чем угол между этой наклонной и любой прямой, лежащей в данной плоскости.

Рис. 14

Определение угла между прямой и плоскостью сводится к нахождению угла между двумя прямыми.

Определение.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Алгоритм решения задачи показан на геометрической

модели (рис. 15)

а) Из точки «А» произвольно взятой на прямой «l», опускают перпендикуляр «r» на плоскость S;

б) Определяют точку пересечения «К» прямой «l» с плоскостью «S»;

в) Строим точку пересечения «В» перпендикуляра «r» с плоскостью S;

г) Соединяем точки В и К (ВК – проекция отрезка прямой АК на плоскость S).

ÐАКВ и будет искомым (углом наклона прямой  «l» к плоскости S).

Рис. 15

Изображение пространственных фигур на плоскости строятся по определенным правилам и в школьном курсе геометрии обычно осуществляются с помощью метода параллельного проектирования, сущность которого состоит в следующем.

В пространстве выбирается произвольная плоскость π, которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения, и прямая l, пересекающая эту плоскость(рис. 1).

Пусть М′′- произвольная точка пространства. Через эту точку проведем

прямую р, параллельную l. Точка М пересечения прямой р с плоскостью π

называется параллельной проекцией точки М′ на плоскость в направлении

прямой l . Если М′- точка плоскости, то М совпадает с М′.

При этом часто пользуются обозначением : М =

Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проек-

тирующими прямыми ; они определяют направление проектирования.

Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой,

называется проектирующей плоскостью.

Рис. 1

Параллельное проектирование

Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом.

Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры

или проекции точек фигуры, ее определяющих.

На рисунке 2,треугольник АВС является парал- лельной проекцией треугольника А′В′С′ на плос- кость π в направлении прямой l.

Параллельное проектирование можно наблюдать в реальном пространстве: тень, которую отбрасы- вает предмет в солнечный день, является парал-

лельной проекцией этого предмета, так как солнечные лучи можно считать приближенно параллельными вследствие большого удаления Солнца от Земли.

Рис. 2

На рисунках 3,4,5 спроектированы соответственно квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. Из этих рисунков можно сделать предположение, что ни величина угла, ни длина отрезка при параллельного проектировании, вообще говоря не сохраняются.

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8 Рис. 9

• Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку- точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций(рис. 6)
• Проекция прямой есть прямая .(рис. 7) Следствие: Три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой. Также говорят, что три коллинеарные точки проектируются в три коллинеарные точки.
• Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую.(рис. 8)
• Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.(рис. 9)

Определение .

Число λ, равное отношению длин отрезков АМ и МВ, на которые точка М делит отрезок АВ, называется простым отношением трех точек А, В, М, лежащих на одной прямой, и обозначается(АВ; М), т.е. (АВ; М)= =АМ : МВ.

При этом точки А и В называются базисными , а точка М – делящей точкой.

Упорядоченность точек простого отношения необходима. Например, если

-медиана треугольника АВС, М- его центроид (точка пересечения ме-

диан треугольника), то ( ; М)=АМ: =2:1, но ( ; М)= : МА = 1: 2 (рис. 10).

Поэтому, если АМ≠ , то ( ; М)≠( ; М).

Учитывая свойство 4 параллельного проектирования, можно сделать вывод:

простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой, при параллель-

ном проектировании сохраняется. В этом случае также говорят, что простое

отношение трех точек, лежащих на одной прямой, - инвариант параллель-

ного проектирования.

Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном проектировании,

называются аффинными свойствами этой фигуры . Например, свойства

прямых быть параллельными- аффинное свойство этих прямых; инвариант-

ность простого отношения трех точек одной прямой- аффинное свойство

таких точек.

Рис. 10

Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным проектированием.

Теорема  

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: S пр  =  S  cos φ.

Заметим, что проекции фигуры на произвольные из параллельных плоскостей равны, так как могут быть совмещены параллельным переносом в направлении проектирования.

Теперь рассмотрим теорему для случая, когда проектируется треугольник

Доказательство.

Первый случай. Плоскость проекции проходит

через сторону треугольника(рис.11).

Пр α (Δ  ABC ) = Δ  ABO , CD – высота Δ  ABC .

По теореме о трех перпендикулярах OD     AB ,

то есть OD – высо-та Δ  ABO .

Плоскость CDO перпендикулярна прямой AB ,

поэтому CDO – линейный угол двугранного угла AB .

Пусть CDO  = φ,тогда OD  =  CD  cos φ,

что и требовалось доказать.

Если сторона АВ не лежит в плоскости проекции,

Но параллельна ей, доказательство аналогично.

Рис. 11

Второй случай . Ни одна сторона Δ  ABC не параллельна плоскости проекции (рис. 12). Проведем отрезок BD параллельно плоскости проекции. Тогда в каждом из треугольников ABD и BCD существует сторона BD , параллельная плоскости проекции. В соответствии с первым случаем получаем:

S Δ  AB 1 D 1  =  S Δ  ABD  cos φ,   S Δ  B 1 C 1 D 1  =  S Δ  BCD  cos φ.

Складывая или вычитая эти равенства

в зависимости от того принадлежит точка D

отрезку AC или лежит вне него, имеем

S Δ  AB 1 C 1  =  S Δ  ABC  cos φ,

что и требовалось доказать.

Третий случай. Плоскость Δ перпендикулярна

плоскости проекции. Проекцией Δ в этом случае

является отрезок, площадь которого равна нулю.

Косинус угла между плоскостью проекции и плос-

костью Δ равен так же нулю. Значит формула так-

же формально верна.

Рис. 12

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами . Однако, если при параллельном проектировании, не являющемся ортогональным, длина проекции отрезка может быть меньше, больше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина отрезка проекции не больше, чем длина самого отрезка.