Презентация на тему "Теория погрешностей"

Министерство образования и науки Хабаровского края Ванинский филиал краевого государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Советско-Гаванский промышленно-технологический техникум»

Презентация

По дисциплине : «Метрология»

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТИ

Студент группы ИС 15 Громозда Р.В.

Преподаватель Соломатина А.В.

1. Источники и классификация погрешности

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата.

Выделяют три вида погрешностей:

• 1. Неустранимая погрешность – эта погрешность связана с ошибками в исходной информации. Причинами этих ошибок могут быть, например, неточность измерений, невозможность представления некоторой величины конечной дробью.
• 2. Погрешность метода связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную – разностью, функцию – многочленом или строят бесконечный итерационный процесс, который обрывают после конечного числа итераций.
• 3. Погрешность вычислений возникает при округлении промежуточных и конечных результатов.

2. Абсолютная и относительная погрешности

Пусть – точное значение величины, а – ее приближенное значение.

• Абсолютной погрешностью числа называется наименьшая

величина , удовлетворяющая условию , т.е. точное

значение величины лежит в интервале .

• Относительной погрешностью называется величина ,

удовлетворяющая условию или .

• Относительную погрешность часто выражают в процентах. Для этого необходимо величину умножить на 100%.

3. Верные значащие цифры

Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева, например:

• 1) - все цифры значащие;
• 2) – значащие только ; первые три нуля незначащие, т.к. они служат вспомогательной цели – определению положения цифр , поэтому может быть принята запись

;

• 3) и . В первой записи все семь цифр (и последние четыре нуля) значащие, во второй – значащие только .

Верные значащие цифры . Значащая цифра называется верной , если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 1 . Пусть и известно, что . Определить число верных значащих цифр у числа .

Имеем: ; и .

Значит, у числа верные знаки а и – сомнительные.

Пример 2. Определить число верных значащих цифр у числа .

Пусть и .

Так как , то у числа три знака после запятой

верные.

Правила округления

При записи чисел руководствуются следующим правилом: все значащие цифры должны быть верными . Поэтому округление чисел, записанных в десятичной системе, производится по правилу первой отбрасываемой цифры :

• если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые десятичные знаки сохраняются без изменения;
• если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
• если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
• если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней, – нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если – четная.

Примеры. Округлить числа:

1) 1,2537≈1,25, m=3 – количество верных значащих цифр;

2) 1,2563≈1,26, m=3; 3) 2,36566≈2,37, m=3;

4) 2,665≈2,66, m=3, 6-четная; 2,635≈2,64, m=3, 3-нечетная.

4. Прямая задача теории погрешностей:

• Оценить погрешность вычисления значений функции по заданной погрешности аргументов.

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция,

где ;

- приближенные значения аргументов, ;

- абсолютные погрешности аргументов.

Тогда абсолютная погрешность вычисления значения функции в точке

равна

(1.1)

Относительная погрешность значения в точке равна

(1.2)

Погрешность результатов арифметических операций

Погрешность суммы . Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел .

Пусть , тогда (1.3)

Погрешность разности . Абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого .

Пусть , тогда (1.4)

Погрешность произведения. Пусть , известны и ,

, тогда абсолютная погрешность произведения вычисляется по формуле

(1.5)

Погрешность частного . Пусть . Очевидно, что

(1.6)

Из формул (1.3) – (1.6) выводятся формулы для соответствующих относительных погрешностей :

Пример (прямая задача)

а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого значения .

б) Определить число верных знаков в результате.

Решение. а) приближенные значения исходных данных: ,

, .

Абсолютные погрешности исходных данных: ,

.

Относительные погрешности исходных данных:

• Порядок выполняемых операций:

б) Для определения числа верных знаков воспользуемся определением и оценкой (1.1) для абсолютной погрешности функции.

Таким образом,

По определению числа верных знаков,

• Ответ : число верных знаков и

5. Обратная задача теории погрешностей

• Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.

Для функции одной переменной абсолютную погрешность можно приближенно вычислить по формуле

Для функции нескольких переменных :

если значения всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то применяют принцип равных влияний, т.е.

считают, что все слагаемые , равны между собой.

Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой

Пример (обратная задача)

Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с верными значащими цифрами.

Решение. Находим

(полагаем первые цифр верными).

Согласно определению -верного знака, абсолютная погрешность

Исходим из того, что

Для использования принципа равных влияний считаем, что все

слагаемые , равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой:

Находим