Презентация к уроку: "Множества"

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА. СЧЁТНЫЕ И НЕСЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА

ВЗАИМНООДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ

Пусть A и B два множества. Правило  , которое каждому элементу a множества А соотносит один и только один элемент b множества B , причём каждый элемент b  B оказывается соотнесённым одному и только одному a  A , называется взаимнооднозначным соответствием между множествами A и B .

МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА

- характеристика множеств, обобщающая понятие количества (числа) элементов множества.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Если между множествами A и B можно установить взаимнооднозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или что они имеют одинаковую мощность (равномощные) , и пишут

A  B .

ТЕОРЕМА 1

• Всегда A  A.
• Если A  B, то B  A.
• Если A  B , а B  C , то A  C.

ТЕОРЕМА 2

ПРИМЕР 1

Пусть А есть множество латинских букв А = { a, b, c, d, e }, а B множество русских букв B = { а, б, в, г, д }.

Если мы расположим элементы этих множеств так:

то видим, что A  B .

A :

B :

a

b

а

c

б

d

в

г

e

д

ПРИМЕР 2

Пусть А и В суть множества точек на двух параллельных сторонах прямоугольника. Легко понять, что А ~ В .

A

B

ПРИМЕР 3

Пусть А и В суть множества точек двух концентрических окружностей. И здесь очевидно, что А ~ В .

B

A

ПРИМЕР 4

Пусть А множество точек гипотенузы, а В множество точек катета прямоугольного треугольника. Как видно из рисунка А ~ В , хотя катет и короче гипотенузы.

A

B

СЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Пусть N множество всех натуральных чисел

N = {1,2,3,4…}.

Всякое множество А, эквивалентное множеству N , называется исчислимым, или счётным .

ТЕОРЕМЫ

• Для того чтобы множество А было счётным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было «перенумеровать», т.е. представить в форме последовательности:

A = { a 1 , a 2 , a 3 , …, a n }

ТЕОРЕМЫ

• Из каждого бесконечного множества А можно выделить счётное подмножество D .
• Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

ТЕОРЕМЫ

• Сумма конечного множества и счётного множества без общих элементов есть счётное множество.
• Сумма конечного числа попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное множество.

ТЕОРЕМЫ

• Сумма счётного множества попарно не пересекающихся конечных множеств есть счётное множество.
• Сумма счётного множества попарно не пересекающихся счётных множеств есть счётное множество.

ТЕОРЕМЫ

• Множество Q всех рациональных чисел счётно.
• Если к бесконечному множеству M прибавить конечное или счётное множество A новых элементов, то это не изменит его мощности, т.е.

M ∪ А  M .

ТЕОРЕМЫ

• Если бесконечное множество S несчётно, а А его конечная или счётная часть, то

S\A  S .

ПРИМЕР 1

Множество A = { x | x = 2 n – 1, n  N } счётно.

Мы можем пронумеровать все элементы множества А:

1

1

2

3

3

4

5

5

7

9

…

…

ПРИМЕР 2

Множество A = { x | x = n ², n  N } счётно.

Мы можем пронумеровать все элементы множества А:

1

1

2

3

4

4

9

5

16

25

…

…

ПРИМЕР 3

Множество A = { x | x = 2ⁿ, n  N } счётно.

Мы можем пронумеровать все элементы множества А:

1

2

2

3

4

4

8

5

16

32

…

…

ПРИМЕР 4

Множество чисел Фибоначчи счётно.

Мы можем пронумеровать все элементы множества :

1

2

0

3

1

4

1

5

2

3

6

7

5

8

8

9

13

10

21

11

34

…

55

…

НЕСЧЁТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Теорема 1. Отрезок U = [0, 1] несчётен .

Если множество А эквивалентно отрезку U = [0, 1]

A  U ,

то говорят, что А имеет мощность континуума ( несчётно ).

ТЕОРЕМЫ

• Всякий отрезок [ a, b ], всякий интервал ( a , b ) и всякий полуинтервал ( a , b ] или [ a , b ) имеет мощность континуума .
• Сумма конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности континуума имеет мощность континуума .

ТЕОРЕМЫ

• Сумма счётного множества попарно не пересекающихся множеств мощности континуума имеет мощность континуума .

Следствие 1 . Множество R всех вещественных чисел имеет мощность континуума .

ТЕОРЕМЫ

Следствие 2 . Множество всех иррациональных чисел имеет мощность континуума .

• Множество всех подмножеств натурального ряда чисел несчётно .

ПРИМЕР 1

Множество А = { x | x  [3, 7]} несчётно.

По теореме 2.

ПРИМЕР 2

Множество всех точек прямой несчётно.

Мы не можем пронумеровать все элементы данного множества.

а

ПРИМЕР 3

Множество всех точек окружности несчётно.

Мы не можем пронумеровать все элементы данного множества.

О

ПРИМЕР 4

Множество всех комплексных чисел (или, что то же, множество точек плоскости) имеет мощность континуума.

Мы не можем пронумеровать все элементы данного множества.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

• Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://edu.alnam.ru/book_z_math1.php?id=28
• Множества [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://vyshka.math.ru/pspdf/f08/calculus-1/l2.pdf
• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной [ Текст ] / И. П. Натансон. – М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974. – 480 с.
• Шилов, Г.Е. Математический анализ [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ikfia.ysn.ru/images/doc/mat_analiz/Shilov_1skurs_1961ru.pdf