Приемы решения целых уравнений

Открытое занятие по математике

в 9 классе по теме:

Приемы решения целых уравнений

Учитель математики

Иванова Рина Юсуповна

Цели урока:

учебная: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний обучающихся по решению целых уравнений с одной переменной высших степеней; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации.

развивающая: развитие личности обучающегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы обучающихся; обеспечивать устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка обучающихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Мотивация изучения темы.

3. Актуализация знаний по теме «Целые уравнения»

4. Систематизация и обобщение знаний – сообщения обучающихся о стандартных приемах решения уравнений.

5. Самостоятельная работа.

6. Расширение и углубление знаний – сообщение учителя о нестандартных приемах решения уравнений.

7. Домашнее задание: примеры на осмысление, закрепление новых знаний.

Ход урока:

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике.

Уравнение - это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений.

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

2. Мотивация изучения темы.

Предлагаются задания повышенной трудности из учебника алгебры и заданий ГИА.

(написать на доске).

1) 2х³ +2у² –(у+1) ²=0

2)( х²- 10) ²- 3( х²- 10)-4=0

3) х³+ х– 4=0

4) х⁵ +х³ +2х – 4 = 0

5) х⁵ +2х-3 = 0

6) (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

Для уравнений высшей степени известны формулы корней, но они очень сложные. Иногда приходится решить, применяя специальные приемы.

3. Повторение материала, изучаемого на предыдущих занятиях:

Виды целых уравнений и способы решения уравнений 1-ой и 2-ой степени

Уравнения 1-ой степени решаются с помощью арифметических операций, уравнения 2-ой степени – с помощью формул корней.

Устная работа

1ряд 2ряд

1)3х-6=9 1)(х+2)(5-х)=0

2) -10х=3 2) х ² -3х+2=0

3ряд

1) 3 х ² - 27=0

2) х ² +3х=0

4.Вспомним методы решения уравнений.

Теорема, обратная теореме Виета: х ² +рх+q=0, х ₁ +х ₂ = - р и х ₁· х ₂ =q.

ах²+bх+с=0; х₁+х₂=-b/а и х₁+х₂=с/а

Используя обратную теорему Виета,
найти второй корень уравнения

1ряд

1) х ² -2х-3=0 и х= -1,то х=

2) х ² -7х+10=0 и х=5,то х=

2ряд

1. -18+3х+ х ² =0 и х= -6,то х=

2) 2 х ^{2 _}7х+3=0 и х=3,то х=

3ряд

1)12х+ х ² +32=0 и х= -4,то х=

2) х ² +5х+6=0 и х= -2,то х=

Решая квадратные уравнения, много тратится времени, работая по алгоритму. Но, используя свойства коэффициентов, можно упростить решение.

ах ² +вх+с=0, а+в+с=0, то один из корней равен 1, а другой равен с/а;

ах ² +вх+с=0, а - в+с=0 или а+с=в,то один из корней равен -1, а другой равен -с/а

Обосновать решения уравнений

1ряд Корни

839х² -448х-391=0 1;-391/839

2ряд

939х² +978х+39=0 -1;-39/939

3ряд

345х² -137х-208=0 1;-208/345

4..Метод разложения на множители.

Если уравнение равносильными преобразованиями можно привести к виду f(x)·q(x)=0, то f(x)=0 или q(x)=0.

Решить уравнение методом разложения на множители

2у³ +2у² –(у+1) ²=0

5.Введение новой переменной.

Заменим некоторое выражение в уравнении новой переменной и получим более простое уравнение относительно новой переменной. Находим эту переменную и вычислим корни исходного уравнения. ( х²- 10) ²- 3( х²- 10)-4=0(решаем у доски)

1. Итоги урока.

Есть еще много приемов решения целых уравнений высших степеней: метод выделения полного квадрата ,использование четности функции, возвратные уравнения и искусственные приемы.

Основные методы решения целых уравнений:

1.Разложение на множители.

2.Введение новой переменной.

3.Графический способ.

4.Теорема Виета.

5.Свойство коэффициентов квадратного уравнения.

6.Свойство монотонности.

7.Симметрические уравнения.

Назовите соответствующий метод решения уравнения и решите его

1ряд (х ² +3х)²+2(х ² +3х) -120=0

2 гряд (х² +х+6)(х² +х-4)=144

3ряд х³-6х²+х-6=0

Домашняя работа:

Решить уравнения

х ² – │10х│+21=0

27х ² – 9х – 18=0

х² +11х + 28=0

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

у³ -6у² +у-6=0

(x² – 2x)² – 2(x² – 2x) – 3 = 0

Решить уравнений

1ряд 2ряд

1) 3х-6=9 1)(х+2)(5-х)=0

2) -10х=3 2) х 2 -3х+2=0

3ряд

1) 3 х 2 - 27=0

2) х 2 +3х=0

Методы решения уравнений

1. Теорема, обратная теореме Виета

х 2 +рх+q=0

х 1 +х 2 = - р и х 1 · х 2 =q

ах²+bх+с=0

х 1 +х 2 =-b/а и х 1 +х 2 =с/а

Используя обратную теорему Виета, найти второй корень уравнения

1ряд

1) х 2 -2х-3=0 и х= -1,то х=

2) х 2 -7х+10=0 и х=5,то х=

2ряд

• -18+3х+ х 2 =0 и х= -6,то х=

2) 2 х 2 _ 7х+3=0 и х=3,то х=

3ряд

1)12х+ х 2 +32=0 и х= -4,то х=

2) х 2 +5х+6=0 и х= -2,то х=

2. Использование свойств коэффициентов

ах 2 +вх+с=0

Если а+в+с =0 , то один из корней равен 1 , а другой равен с/а .

Если а-в+с =0 или а+с=в , то один из корней равен -1 , а другой равен -с/а

Обосновать решения уравнений

1ряд Корни

839х 2 -448х-391=0 1;-391/839

2ряд

939х 2 +978х+39=0 -1;-39/939

3ряд

345х 2 -137х-208=0 1;-208/345

Решить уравнение методом разложения на множители

2у 3 +2у 2 –(у+1) 2 =0

5. Введение новой переменной Заменим некоторое выражение в уравнении новой переменной и получим более простое уравнение относительно новой переменной. Находим эту переменную и вычислим корни исходного уравнения ( х 2 - 10) 2 - 3( х 2 - 10)-4=0

Основные методы решения целых уравнений

• 1.Теорема Виета
• 2.Свойство коэффициентов квадратного уравнения
• 3.Разложение на множители
• 4.Графический способ
• 5.Введение новой переменной
• 6.Свойство монотонности
• 7.Свойство симметричности

Назовите соответствующий метод решения уравнения и решите его

• 1 ряд (х 2 +3х ) 2 + 2(х 2 +3х ) - 120=0
• 2 ряд (х 2 +х+6)(х 2 +х-4)=144
• 3 ряд х 3 -6х 2 +х-6=0

Домашняя работа

Решить уравнения

х 2 – │10х│+21=0

27х 2 – 9х – 18=0

х 2 +11х + 28=0

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

у 3 -6у 2 +у-6=0

( x 2 – 2 x ) 2 – 2( x 2 – 2 x ) – 3 = 0