Приближенное вычисление определенных интегралов

ББК 22.21

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

А.С. Тирский, старший преподаватель кафедры «Естетственных и технических наук»,

Ю. И. Вазиков, студент группы Мех 09 Олёкминский филиал
ФГБОУ ВПО Якутская ГСХА»,, г. Олёкминск

Как известно, некоторые функции не интегрируются в классе элементарных функций. В таком случае первообразную можно получить в виде степенного ряда путем почленного интегрирования ряда Тейлора подъинтегральной функции f(t) в окрестности точки

Поставим перед собой задачу: вычислить неберущийся определенный интеграл с помощью степенных рядов с определенной степенью точности и сделаем предположение, что функция разлагается в степенной ряд по степеням х и отрезок принадлежит интервалу сходимости.

Пусть Ф(х) – первообразная для f(x) , = Ф(в)-Ф(а), где значения Ф(в) и Ф(а) вычислены приближенно.

Ограничимся n членами разложения первообразной Ф(х). Следовательно

где - частичная сумма разложения первообразной Ф(х).

Так как Ф(в)-Ф(а) =

Значит абсолютная погрешность этой формулы не превышает суммы:

(1)

Сделаем важное замечание: Практически оценкой (1) не пользуются, так как они очень завышены. Удобнее вычислять Ф(а) и Ф(в) отдельно, как суммы соответствующих числовых рядов. Может так случиться, что для достижения указанной точности, при вычислении значений Ф(а) и Ф(в) требуется ограничиться отдельным количеством членов полученного ряда.

Теперь рассмотрим несколько примеров.

Вычислить приближенно: с точностью до 0,01

Решение:

Интегрируя обе части равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости

Так как ,то

Рассмотрим еще один пример

Вычислить с точностью до 0,001

Решение: Заменяя в известной формуле х на -х разложим подъинтегральную функцию в ряд Маклорена.

Интегрируя обе части равенства на отрезке , лежащем внутри промежутка сходимости, получим

получили ряд лейбницкого типа. Так как а то с точностью до 0,001 имеем

Таким образом, получаем один способов вычисления «неберущихся» интегралов.

Литература:

1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов – М. Высшая школа, 2001.- 345с.

2. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов – М: Высшая школа, 1998.- 380с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, в 2-х частях Ч.1,Ч.2.:Учебн. пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.- 280с.