Прямоугольный треугольник

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 195»

Октябрьского района

Секция «Математика»

Исследовательская работа по математике

ТРЕУГОЛЬНИК,

ТРЕУГОЛЬНИК В ОКРУЖАЮЩЕМ НАС МИРЕ

Выполнила: ученица 6 класса

Аббасова Лале

Контактный телефон 89137319619

Руководитель проекта

Речицкая Ольга Сергеевна

Контактный телефон 89537883990

г. Новосибирск, 2018 год

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ	3
1 ИСТОРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА	5
1.1 Как зарождался треугольник	5
1.2 Интересные факты	7
1.3 Интересные факты о теореме Пифагора	9
1.4Секреты треугольника	10
1.5 Оптический обман	11
1.6 Практическое применение треугольников	12
2 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК КАК ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРИБОР	17
2.1 Почётное место прямоугольного треугольника	17
2.3 Измерение высоты объекта по его тени	17
2.4 Измерение высоты с помощью зеркала	19
2.5 Измерение недоступных расстояний с помощью равных катетов	21
2.6 Анкетирование	22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ	24
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	25
ПРИЛОЖЕНИЕ	26

ВВЕДЕНИЕ

«Легче найти доказательство, приобретая

сначала некоторое понятие о том, что мы

ищем, чем искать такие доказательства

без всякого предварительного знания»

Архимед

Учитель на уроке часто говорит о практической направленности математики. Эта удивительная наука покорила меня. Я захотел знать больше, чем изучают в школе и проявить интерес других обучающихся к этой науке. Мой учитель предложила исследовательский проект по теме «Треугольники», идея мне понравилась, и мы решили работать над этой темой. Мне захотелось понять, когда и где появились треугольники, кто и как их изобрёл, для чего они нужны, раскрыть особенности этой фигуры и показать использование знаний на практике. О занимательных задачах и интересных фактах и о многом другом я расскажу в своем проекте.

Актуальность данного исследовательского проекта определяется важностью умения видеть математику в мире, в котором мы живём, внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей.

Объект исследования: треугольники.

Предмет исследования: рассмотрением истории развития термина треугольник, геометрические сведения о треугольнике и треугольник в окружающем нас мире.

Цель: Развитие интереса к предмету геометрия, формирование навыков самостоятельной работы, научить получать удовольствие от самостоятельного поиска знаний и решения задач, увидеть связь между наукой и жизнью и научить применять математические знания и умения в повседневной жизни.

Задачи:

• изучить литературу по истории треугольника;

• найти ответить на вопросы: Почему треугольник является древней и удивительной геометрической фигурой? Зачем человеку знания о прямоугольных треугольниках? Есть у треугольника еще какие-нибудь тайны? Нужны ли треугольники в жизни? Как треугольники могут стать украшением нашей жизни?

• научиться решать практические задачи с помощью прямоугольного треугольника;

• провести выступление в классах по данной работе, чтобы вызвать интерес учащихся к изучению геометрии;

• провести анкетирование среди учащихся;

• обработать полученные данные.

Гипотеза: может ли человечество существовать без треугольников и какую роль играют треугольники в нашей жизни

Методы исследования:

• Поисковый (изучение литературы, анализ);

• Аналитический (движение мысли от частных суждений к общему выводу);

• Практический (выполнение запланированных действий, анкетирование);

• Презентация (оценка продукта, подготовка презентационных материалов, презентация)

• Контрольный (анализ результатов, оценка качества выполнения проекта, оценка продвижения)

Практическая значимость исследования заключается в том, что данный материал может быть использован на уроках геометрии, а также на факультативных занятиях и мероприятиях в рамках недели математики.

1 ИСТОРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

1. Как зарождался треугольник

Историю развития предмета треугольник можно смело начать теми же словами, которые пел когда-то Чебурашка в известном мультфильме. «Я был когда-то странной игрушкой безымянной», - сказал бы сейчас про себя современный треугольник, который есть почти везде. Куда ни глянь – они заполняют все окружающее нас пространство. Даже в Хогвартсе Сириуса мы можем найти треугольные элементы, которые доказывают то, что треугольник достиг своего развития не только в мире магглов, но и в мире магов. Началось все с того, что треугольник был обычной геометрической фигурой на плоскости, которую магглы использовали в разных целях. Одна из таких целей – земледелие. Например, в древности участки делили таким образом: выбирали три произвольные точки (или 4, когда как) и соединяли их линиями (рисунок 1).

Рисунок 1- Деление участков

Так и появились первые треугольники. Термин «треугольник» появился, конечно же, намного позже, чем люди смогли соединять три точки прямыми, однако он появился и… Начал развиваться. И жив до сих пор [6].

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников» [7].

Изображения треугольников и задачи с их применением встречаются во многих папирусах, которым более 4000 лет, в Древней Греции и Древнего Египта. Древнегреческий ученый Герон (I век) впервые применил знак вместо слова треугольник.

Уже тогда была известна теорема, получившая впоследствии название теоремы Пифагора, которая применялась для построения прямых углов (рисунок 2) на местности с помощью натянутых веревок длиной 3, 4, 5 (египетский треугольник, рисунок 3).

Рисунок 2 – Построение прямого угла египетского треугольника

Рисунок 3 - Египетский треугольник

Через 2000 лет в древней Греции учение о треугольнике достигает высокого уровня. Известны такие древнегреческие ученые, как Архимед (рисунок 4), Пифагор (рисунок 5), Фалес (рисунок 6).

Рисунок 4 - Архимед Рисунок 5 - Пифагор Рисунок 6 - Фалес

Учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, затем в школе Пифагора. Древние греки решили упорядочить накопленные сведения о треугольнике и написали много трудов. Наиболее совершенной оказалась работа Евклида "Начала" (365-300 до н.э.) (рисунок 7), [8].

Рисунок 7- Евклид " Начало"

Особенно плодотворно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Большой вклад в эту теорию внёс знаменитый математик Леонард Эйлер (рисунок 8).

Рисунок 8- Леонард Эйлер

Император Франции Наполеон (рисунок 9) свободное время посвящал математике и, в частности, изучению свойства треугольников [9].

Рисунок 9- Император Франции

Треугольник - простейшая плоская фигура: три вершины и три стороны. Но с древнейших времен и до наших дней математики занимаются изучением треугольника.

Можно сделать вывод: треугольник важнейшая и неисчерпаемая фигура в геометрии.

1. Интересные факты

Геометрическая фигура – треугольник, одной из первых появилась в изображении орнаментов древних цивилизаций.

Треугольник в Египте символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух (рисунок 10), умеренный огонь, соответствующий синему цвету (рисунок 11).

Рисунок 10 – Воздух Рисунок 11 - Синий цвет

Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду (рисунок 12); мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет (рисунок 13).

Рисунок 12 – Вода Рисунок 13-Зеленый цвет

Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю (рисунок 14), неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету (рисунок 15).

Рисунок 14-Земля Рисунок 15 - Черный цвет

В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной (рисунок 16), символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности, красному цвету (рисунок 16).

Рисунок 15 - Огонь Рисунок 16 - Красный цвет

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла (рисунок 17). Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.

Рисунок 17 - Символ временного цикла

Светящаяся Дельта (рисунок 18) - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и двумя углами по 36° у основания), в середине которого расположены Божественный Глаз (видимое Солнце, дающее Свет и Жизнь, Логос, Творческое начало) или священная Тетраграмма I E V Е, имя Бога, которое иудейский первосвященник произносил лишь один-единственный раз в году. Его три стороны являют собой выражение формулы: правильно думать, правильно говорить, правильно делать, или лозунг: Свобода, Равенство, Братство. Начало [10].

Рисунок 18- Светящаяся Дельта

В древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника. Первобытные люди штамповали треугольники на разных изделиях (рисунок 19). Вожди племен североамериканских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник с точкой в центре, в Африке женщины также украшают себя большими пластинами из равносторонних треугольников. Равносторонние треугольники рисовали - на изображениях священных животных.

Рисунок 19 – Изделия

1.3 Интересные факты о теореме Пифагора

• А известно ли вам, что по книге рекордов Гиннеса теорема Пифагора имеет наибольшее число доказательств теоремы и насчитывает их более трех сот.

• А знаете ли вы, что среди всех доказательств теоремы Пифагора существует одно неизвестное доказательство и это доказательство самого автора теоремы, так как оно принадлежит не Пифагору, а Евклиду.

• А представляете ли вы, что оказывается теорема Пифагора, была известна во многих странах еще задолго до древнегреческого философа.

• Один голландский математик пришел к выводу, что заслугой Пифагора не является открытие математики, а ее обоснование и систематизация.

• 

  
  
  

  Происхождение «пифагоровых штанов (рисунок 28)», вроде как понятно, так как построенные на сторонах треугольника квадраты, которые расходятся в разные стороны, напоминают покрой мужских штанов. Но загадка в другом, оказывается, что древние греки не знали, что такое «штаны», да и сам Пифагор их никогда не носил [15].

Рисунок 20 - "Пифагоровы штаны во все стороны равны"

1.4 Секреты треугольника

Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике (рисунок 21), в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? (Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида).

Рисунок 21- Бермудский треугольник

А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Первые упоминания о дьявольской зоне. Бермудский треугольник в океане - это сенсация, которая будоражит человечество уже на протяжении полувека. Впервые об этой аномальной зоне упомянули в 1950 году. Американский исследователь по имени Е. Джонс написал небольшую статью, оформив материал в виде брошюрки, в которую поместил несколько фото. Но в то время внимания на это практически никто не обратил. Пока в 1964 году о Бермудском треугольнике не написал ещё один американский исследователь по имени В. Гаддис. Он поведал о настоящей опасности, которую таит в себе эта мистическая область. Но настоящий страх на обывателя навела книга под названием «Бермудский треугольник», написанная Чарльзом Берлицом. С тех пор эта тема не прекращает быть актуальной во всём мире [12].

Пирамида Хеопса. Египетские пирамиды – это одни из грандиозных сооружений, созданных когда-либо руками человека. Самая известная из египетских пирамид – пирамида Хеопса в Гизе (рисунок 22). Из-за своих огромных размеров ее иногда еще называют Большой пирамидой. Ее высота составляет 146,6 м, Площадь основания составляет 230*230 м². Строительство пирамиды Хеопса продолжалось 30 лет. Она состояла из 128 слоев камня и представляла собой ступенчатую гору [13].

Рисунок 22 - Пирамида Хеопса

Затем ступени были заложены камнями так, что ее поверхность стала хотя и не вполне гладкой, но уже без выступов. В завершении работ четыре треугольные грани пирамиды были облицованы плитами из ослепительно белого известняка и отполированы до зеркального блеска. Края плит были пригнаны настолько точно, что между ними нельзя было вставить даже лезвие острого ножа. По свидетельству очевидцев, на солнце и при лунном свете гробница Хеопса загадочно сверкала, как огромный светящийся изнутри кристалл. Египетская пирамида Хеопса в Гизе – древнейшее, и вместе с тем, единственное сохранившееся до наших дней чудо света.

Тайны пирамиды Хеопса. Пирамиды «умеют» очень многое. Растворимый кофе, например, постояв под пирамидой, приобретает вкус натурального. Продукты (рыба, мясо, яйца) не портятся, только усыхают (мумифицируются); вода не зацветает и не заражается бактериями (зараженная микробами - очищается); молоко долго не киснет, а затем превращается в качественную простоквашу; сыр не плесневеет; срезанные цветы в воде, выдержанной под пирамидой, сохраняются до 32 дней; с волос при мытье головы «пирамидальной» водой исчезает седина.

1.5 Оптический обман

Треугольник на рисунке 23 состоит из нескольких частей. Если их расположить по-другому, то получится точно такой же треугольник, но с одним маленьким изъяном. Не будет хватать одного квадрата. Как такое возможно? Или все-таки это иллюзия.

Секрет в том, что синий и красный треугольники имеют неравные углы, что визуально незаметно из-за слишком малой разницы. Поэтому на первом рисунке создаётся излом внутрь, а на втором — наружу. Это легко проверить наложением и вычислениями.

Площадь каждого треугольника 13×5 не равна площади частей, из которых они составлены.

Рисунок 23 - Иллюзия

Действительно, общая площадь четырёх частей (жёлтой, красной, синей и зелёной) равна 32 кв. ед., а площадь треугольника 13×5 равна 32,5 кв. ед. Отношение длин катетов синего треугольника 5:2, а красного — 8:3, поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы. Гипотенузы в обоих треугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями. Если наложить треугольники 13×5 друг на друга, то между их гипотенузами образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь.

По словам Мартина Гарднера, эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью-Йорка Пол Карри в 1953. Однако принцип, заложенный в неё, был известен ещё в 1860-е годы.

Длины сторон фигур из данной задачи (2, 3, 5, 8, 13) являются последовательными числами Фибоначчи. Многие другие задачи на перестановку фигур, подобные этой, основаны на свойствах последовательности чисел Фибоначчи.

Вообще, данные фигуры не являются треугольниками. Они представляют собой соответственно выпуклый и вогнутый четырёхугольники [18].

1.6 Практическое применение треугольников

1. Начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника (рисунок 24). Для этого используют специальное приспособление.

Рисунок 24- Бильярд

Расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника (рисунок 25).

Рисунок 25 - Расстановка кеглей в игре Боулинг

2. Треугольник можно встретить, проезжая по мосту (рисунок 26). Потому, что форма треугольника позволяет уменьшить нагрузку на опору и это самая жесткая, устойчивая фигура. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна [14].

Рисунок 26 – Мост

3. Равнобедренные треугольники часто встречаются в практике. Например, дом с двускатной крышей выглядит с торцевой стороны как пятиугольник, составленный из прямоугольника и равнобедренного треугольника (рисунок 27). Крышу поддерживают наклонные балки-стропила. Каждая их пара одинаковой длины скрепляется с горизонтальной балкой, так что вместе они образуют стороны равнобедренного треугольника [11].

Рисунок 27 - Дом

4. Необычная архитектура (рисунок 28).

Рисунок 28 - Архитектура

5. Треугольные числа.

А знаете ли вы, что такое треугольные числа? Посмотрите внимательно на рисунок 29, вы видите, что в каждом вновь получаемом треугольнике размещается все большее число кружков и все они размещаются по определённому порядку, образуя ряд, наклоненный влево или вправо.

Количество кружков, помещающихся в треугольнике по определённому порядку, и называется треугольными числами.

Рисунок 29 - Треугольные числа

6. Треугольник (лат. Triangulum, Tri) — созвездие северного полушария неба. Занимает на небе площадь 131,8 квадратных градуса, содержит 25 звёзд, видимых невооружённым глазом.

Рисунок 30 - Созвездия Треугольника

7. Предупреждающие знаки в правилах дорожного движения имеют форму треугольника.

Рисунок 31 - Предупреждающие знаки

8. Треугольник в живописи. Творчество – уникальное явление русского и европейского искусства.

В картинах «Точки на дуге» и «Три треугольника» можно увидеть, как треугольники применяются в живописи.

Рисунок 32-«Точки на дуге», 1927 г. Рисунок 33-«Три треугольника», 1938 г.

Портрет Моны Лизы, рисунок 34, привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Рисунок 34 - Леонардо да Винчи - Мона Лиза

2 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК КАК ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ПРИБОР

2.1 Почётное место прямоугольного треугольника

В Вавилонской геометрии, такая фигура, как прямоугольный треугольник занимала очень важное и почетное место. Впервые о нем упоминается в папирусе Ахмеса.

Большое значение имеет Египетский треугольник (рисунок 3). Само название «египетский треугольник» появилось очень давно, вероятно еще в V веке до н.э. Это название произошло именно из Древнего Египта, так местное население широко применяло такой тип треугольника в повседневной жизни и различных сферах деятельности.

Архитекторы и землемеры того времени, чтобы построить прямой угол использовали веревку, которую делили узлами или отметками на двенадцать частей, то есть три плюс четыре и плюс пять (рисунок 2). Такой своеобразный треугольник образовывался благодаря натяжению шнура и показывал весьма точную прямоугольную форму, в котором катеты играли роль направляющих для использования в кладке прямого угла нужного сооружения. Благодаря такому изобретению, египетские строители теперь могли более точно делать расчеты для разметки земли под хозяйственные работы и применять их при строительстве пирамид.

Египетский треугольник так же имеет некоторые отличительный особенности. Например, все его стороны и площадь представляю собой целые числа, из-за его прямоугольности он активно применяется в строительстве для отмерения прямых углов. К тому этот уникальный треугольник легко строиться с помощью обыкновенной веревки.

Но самым важным в феномене египетского треугольника было то, что именно его необычные свойства подтолкнули Пифагора к попытке обобщить, каким-то образом, все другие прямоугольные треугольники, что и стало в итоге известно под названием теоремы Пифагора!

2.2 Измерение высоты объекта по его тени

Самый легкий и самый древний способ — без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения.

Фалес, — говорит предание, — избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине, отбрасываемой ею тени. Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени.

Задача греческого мудреца представляется нам теперь детски-простой, но не будем забывать, что смотрим мы на неё с высоты геометрического здания, воздвигнутого уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тысячелетий после его смерти. Заключенные в ней истины, известные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника, — именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):

1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно—что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2) что сумма углов всякого треугольника (или, по крайней мере, прямоугольного) равна двум прямым углам.

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник. Этим простым способом очень удобно, казалось бы, пользоваться в ясный солнечный день для измерения одиноко стоящих деревьев, тень которых не сливается с тенью соседних.

Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент: Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев (рисунок 35). Поэтому способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

Рисунок 35- Измерение высоты дерева по тени

Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в солнечный день можно было пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста (рисунок 36), вычисляют искомую высоту из пропорции (1):

Иными словами, высота дерева во столько же раз больше вашей собственной высоты (рисунок 36), во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени.

Рисунок 36 - Вычисление высоты из пропорции

Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников ABC и аbc (по двум углам) [16].

Следовательно, высота дерева определяется по формуле:

(2)

где h – рост человека;

l₁ – длина тени столба;

l₂ – длина тени человека.

2.4 Измерение высоты с помощью зеркала

Вот еще один способ определения высоты дерева при помощи зеркала. На некотором расстоянии (рисунок 37) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ED), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния CD от зеркала до наблюдателя. Почему?

Рисунок 37 - Измерение высоты при помощи зеркала

Решение.

Способ основан на законе отражения света. Вершина А (рисунок 38) отражается в точке А' так, что АВ = А'В. Из подобия же треугольников ВСА' и СЕВ следует, равенство отношений, формула 3:

(3)

В этой пропорции остается лишь заменить АʹВ равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.

Этот удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящему дереву.

Рисунок 38 - Геометрическое построение к способу измерения высоты при помощи зеркала

Итак! Кладем зеркало на землю примерно так, как показано на фото (рисунок 39), отходим в сторону до того момента, пока в зеркале не отразится верхушка дерева [17].

Рисунок 39 – Эксперимент

Измеряем необходимые расстояния от человека до зеркала (рисунок 40), от зеркала до дерева, и получаем требуемую высоту после вычисления пропорции.

Рисунок 40 - Измерение расстояния

Высота столба равна частному произведения роста человека и расстояние от зеркала до дерева на расстояние от человека до зеркала (4).

(4)

где S – рост человека;

S₁ – расстояние от зеркала до дерева;

S₂ – расстояние от человека до зеркала.

Расчёт:

S= 155см

S₁=180см

S₂=120см

Следовательно, используя этот метод высоту дерева определила сама очень быстро и легко.

2.5 Измерение недоступных расстояний с помощью равных катетов

С помощью прямоугольного треугольника с равными катетами можно измерить недоступные расстояния. В самом деле, если вы сможете в таком треугольнике измерить один из катетов, то длина другого катета вам тоже станет известной – вот этим и пользуются при измерении недоступных расстояний.

Однажды летом произошел такой случай [3]. Ребята из пионерского лагеря пришли на реку купаться и заспорили о ширине реки: одни говорили, что ширина реки в этом месте 50 м, другие называли число 70 м и даже 80 м, а некоторые наоборот, решили, что здесь и 50 м, не будет, а всего лишь 40-45м. К счастью, сюда же пришел и учитель математики, отдыхавший вместе с ребятами в лагере. Учитель сказал: "Что вы спорите? Надо измерить! "Ребята подумали, что он шутит, так как на берегу не было ни одной лодки и не было веревки, которую можно было бы протянуть через реку. Но учитель не шутил. Он сказал: "Вон на том берегу на против нас видите песок? Он нам и поможет! "Он попросил найти палку, воткнул ее в землю и сказал: "Вот здесь будет вершина прямоугольного треугольника, один из его катетов будет простираться от нашей палки до пня на другой стороне реки, а другой катет такой же длины мы построим на нашем берегу". С этими словами он вынул из кармана двадцатиметровую рулетку и предложил двум пионерам идти вдоль берега рек и втыкать после каждого отмера маленькие палочки-колышки (чтобы по ним можно было проверить, сколько раз уложилась рулетка до того места, которое он укажет). Сам он стал вместе с ребятами время от времени останавливаться и проверять на глаз, не составляет ли прямая линия, направленная на пенек, с той линией, которую протягивали ребята рулеткой, половины прямого угла. Это учитель делал так (рисунок 41).

Рисунок 41 – Нахождение ширины реки

Когда, по его мнению, этот момент настал, он поставил палку-веху и от нее предложил сосчитать расстояние до первоначальной палки-вехи, а потом сказал: "Вот мы и нашли ширину реки". Как нашли ширину реки, видно из рисунка 41. Определите теперь по чертежу, какова же ширина реки, если расстояние на нашем берегу АС равно 70 м, расстояние вехи С до берега Д равно 10м. Ребята сообразили, что ширина реки ВД равна 70м -10м= 60м, так как катет ВС равен катету АС. Все остались довольны измерением и затем на полянке не раз проверяли правильность такого измерения.

Научившись пользоваться прямоугольным треугольником с равными катетами, приходим к выводу, что при измерении недоступных расстояний, не имея измерительных приборов, всегда можно использовать треугольник. Эта фигура самая нужная в геометрии!

2.6 Анкетирование

На базе муниципального общеобразовательного учреждения «МБОУ СОШ № 195» было проведено анкетирование в апреле 2018 года среди учеников 6 «а», 7 «б» и 8 «г» классов. В анкетировании принимало участие 78 учеников. Ученикам было предложено две анкеты, состоящих соответственно из четырёх вопросов (Приложение 1). Анкета 1 – до презентации работы, анкета 2 – после. Ответ на первый вопрос «Знаете ли Вы, где зародился треугольник?» показал, что только 42 человека (54%) знают происхождение треугольника, 35 человек (45%) не знают и 1 человек (1%) дал не верный ответ (Приложение 2). Так же в приложении 2 представлена диаграмма ответов по классам. На второй вопрос «Является ли Египетский треугольник прямоугольным?» ответ да – 40 (51%) обучающихся, нет – 38 (49%) обучающихся (Приложение 3). Ответ на третий вопрос «Кто из этих великих личностей внес вклад в историю развития треугольника?» Наполеон – 3 человека (4%), Ньютон – 2 человека (2%), Пифагор - 54 человека (64%), Фалес – 17 человек (20%), Эйлер – 8 человек (10%) (Приложение 4). Ответ на последний вопрос «Где по вашему мнению можно применить знания о треугольнике?» (Приложение 5), дал понять, что основное применение обучающихся видят только в уроках геометрии и строительстве по 24 %. Треугольнике везде и всюду 15% и 2 % на нашли их применения.

Затем представлена презентация с подробным изложение каждого рассмотренного в работе вопроса и предложена вторая анкета, состоящих из четырёх вопросов (Приложение 1). Ответ на первый вопрос «Какую роль играют треугольники в геометрии?» показал (приложение 6), что только 30 человек знают их важное значение, а 48 человек даже не подозревают. На второй вопрос «Какие из рассмотренных вопросов вызвали у Вас интерес?» (приложение 7) все представленные вопросы ответили 12 человек (16%), наибольший интерес вызвал вопрос - секреты треугольника 33 обучающихся (42%). Исторические факты вызвали интерес у 5 человек (6%), применение теоретического материала при решении практических задач в жизни, измерения – 13 человек (17%). Нет ответа у 22 обучающихся (26%). Ответ на третий вопрос «Понравилась ли вам работа?» 3 ответили «нет», а 75 дали положительный ответ. Полученные результаты представлены в виде диаграмм в процентном соотношении (Приложение 8 и 9). Ответ на последний вопрос «Узнали ли Вы что-то новое?», дал понять, что проделанная работа достигла поставленной цели, вызвала интерес к предмету геометрия, сформировала навыки самостоятельной работы, научила получать удовольствие от самостоятельного поиска знаний и решения задач. Показала связь между наукой и жизнью и научила применять математические знания в повседневной жизни умения видеть математику в мире, в котором мы живём, внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В повседневной жизни невозможно обойтись без треугольников. Поэтому на уроках геометрии важнейшее место всегда занимает треугольник.

В ходе решения поставленных задач в работе рассмотрены вопросы истории зарождения треугольника, получены новые знания, интересные факты, расширили математический кругозор, изучили новые подходы к решению задач и самое главное, развивали умение применять теоретический материал при решении практических задач в жизни. Нашли ответы на все вопросы, которые были поставлены в начале работы. Приобрели навыки исследовательской работы.

На базе муниципального общеобразовательного учреждения «МБОУ СОШ № 195» было проведено анкетирование в 6, 7 и 8 классах.

Результат показал, что данная тема заинтересовала ребят, научила их получать удовольствие от самостоятельного поиска знаний и решения задач, и они увидели связь между наукой и жизнью. Теперь у них есть интерес самим добывать информацию, а вместе с ней и знания.

Я думаю, что и наши способы применения прямоугольного треугольного треугольника не является совершенным, поэтому я буду продолжать работу над данной темой и, может быть, мне удастся найти новый способ.

Я поняла, что треугольник занял почетное место в жизни у человека, которое у него не смогут отобрать. Поэтому треугольник существовал, существует и будет существовать!

Таким образом, цель проекта считаем, достигнута, поставленные задачи выполнены.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

2. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

3. Сорокин П.И. Занимательные задачи по математике. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1967. – 152 с.

4. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн; Худож. А.В. Кардашук, А.Е. Шабельник, А.О. Хоменко. – М.: АСТ, 1996. – 480 с.

5. https://www.metodkopilka.ru/proekt_na_temu_quottreugolnikiquot__6_klass-26633.htm
6. http://mypresentation.ru/presentation/magicheskaya_figura__treugolnik
7. https://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-v-klasse-na-temu-treugolniki-primenenie-treugolnikov-v-prakticheskoy-zhizni-898229.html
8. http://mybiblioteka.su/tom2/8-62542.html
9. https://multiurok.ru/files/proiekt-putieshiestviie-v-stranu-trieughol-niki.html
10. https://infourok.ru/interesnie-fakti-o-treugolnikah-miniuchebnik-dlya-uchaschihsya-i-prepodavateley-1333404.html
11. https://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-v-klasse-na-temu-treugolniki-primenenie-treugolnikov-v-prakticheskoy-zhizni-898229.html
12. https://www.syl.ru/article/171505/new_kakie-taynyi-hranit-v-sebe-bermudskiy-treugolnik
13. https://tepler.ru/egypt/giza/piramida-heopsa.html
14. https://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-v-klasse-na-temu-treugolniki-primenenie-treugolnikov-v-prakticheskoy-zhizni-898229.html
15. https://scientificrussia.ru/articles/10-faktov-o-teoreme-pifagora

16. http://green.mosmetod.ru/2015-06-30-09-24-09/55-izmerenie-vysoty-ob-ekta-po-ego-teni

17. http://green.mosmetod.ru/2015-06-30-09-24-09/54-izmerenie-vysoty-zerkalnyj-metod
18. https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/638601

19. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. http://krotov.info/lib_sec/05_d/dio/gen_02.htm

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Анкета 1

1. Знаете ли Вы, где зародился треугольник?

________________________________________________________________________

2.Является ли Египетский треугольник прямоугольным?

а) да б) нет

3.Кто из этих великих личностей внес вклад в историю развития треугольника?

а) Наполеон б) Ньютон в) Пифагор г) Фалес д) Эйлер

4. Где по вашему мнению, возможно применять знания о треугольниках?

________________________________________________________________________

Анкета 2

1. Какую роль играют треугольники в геометрии?

2. Какие из рассмотренных вопросов вызвали у Вас интерес?

3. Понравилась ли вам работа, и узнали ли Вы что-то новое?

а) да б) нет

напишите, что конкретно________________________________________________

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

ПРИЛОЖЕНИЕ 9