Презентация по теме "Сложение и вычитание векторов 9 класс"

BC A В BC ; AC = BC ; AC = BC 45 0 С А 2 " width="640"

Какая запись является верной?

В

A В BC

A В BC ;

AC = BC ;

AC = BC

45 0

С

А

2

Назовите коллинеарные противоположнонаправленные векторы

Назовите равные векторы

Назовите коллинеарные сонаправленные векторы

A

B

C

D

N

F

R

M

S

E

Q

V

T

Y

U

I

O

X

P

G

J

H

Z

L

K

3

!

Сложение векторов. Правило треугольника.

АС

АВ + ВС =

С

a +

b

b

А

a

b

В

a

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Для любого нулевого вектора справедливо равенство

!

a + 0 = a

4

b

a +

b

a +

Докажем, что если при сложении векторов точку А заменить другой точкой А 1 , то полученный вектор А 1 С 1

будет равен АС. Рассмотрим случай.

АВВ 1 А 1 – параллелограмм

b

a

В

b

a

ВСС 1 В 1 – параллелограмм

С

А

АСС 1 А 1 – параллелограмм

В 1

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

b

a

С 1

А 1

5

Правило треугольника.

АС

А S + S С =

АВ + ВС =

АС

АР

NM + ML =

АО + ОР =

NL

RR = 0

RP + PR =

MR

MN + NR =

ZK + KZ =

ZZ = 0

MK + KM =

MM = 0

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

OM + MK

MK + OM =

KD + DE =

DE + KD =

= OK

= KE

6

Правило треугольника.

АВ + ВС

АС =

ON =

ON + N В

OB =

OB + В N

AS =

RS + SA

RA =

AR + RS

XH =

KX =

KH + HX

XK + KH

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

MD =

MA + AD

AD =

AM + MD

OF + FP

OP =

FO =

FP + PO

7

b

a +

По правилу треугольника складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении треугольника и не получается

b

a +

b

a

b

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

a

8

b

a +

b

a

f

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

c +

f

c

9

Законы сложения векторов

Теорема

a , b, c

Для любых векторов справедливы равенства:

!

a + b = b + a

1

переместительный закон

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

!

( a + b ) + c = a + (b + c)

2

сочетательный закон

10

1

Докажем свойство

Рассмотрим случай, когда векторы и не коллинеарны.

b

a

В

b

b

a +

b

А

C

a

a

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

D

= b +

a

АС =

АВ + ВС

= a +

b

АС =

А D + D С

11

При доказательстве свойства 1 0 мы обосновали правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов.

Чтобы применить правило параллелограмма, надо отложить векторы от одной точки, как стрелки часов.

12

11

1

10

2

3

9

4

8

5

7

6

12

Сложение векторов. Правило параллелограмма.

12

11

1

b

10

2

a+b

b

a

9

3

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

8

4

a

5

7

6

13

2

Докажем свойство

b

b

a

В

C

c

c

a

D

А

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

А C

(a + b)+c

= А D

= ( АВ + ВС ) + CD

= АС + CD

BD

a + (b+c)

= А B + BD

= АВ + ( ВС + CD)

= А D

14

a+c+m+n

Сложение векторов.

Правило многоугольника.

АВ + ВС + С D + DO

= А O

n

m

a

m

n

c

c

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

a

15

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если А 1 , А 2 , …, А n – произвольные точки плоскости, то

= А 1 A n

А 1 А 2 + А 2 А 3 + … + А n-1 A n

А 6

А 7

А 1

А 4

А 5

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

А 2

А 3

15

!

Если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5

= 0

a 3

a 3

a 5

a 2

a 4

a 4

a 1

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

a 1

a 2

a 5

17

a 1

Вектор называется противоположным

вектору , если векторы и имеют равные

длины и противоположно направлены.

a 1

a

a

a 1

a

a = a 1 ;

a a 1

- b

b

Вектор , противоположный вектору

b

А

А

- b

Вектор ВА , противоположный

вектору АВ

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

ВА = – АВ

a + (-a) = 0

В

В

18

a, b, c, d

№ 766 На рисунке изображены векторы

ХУ . Представьте вектор ХУ в виде суммы остальных или им

противоположных векторов.

b

–

–

a

c

Х

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

d

– a – b + c + d =

ХУ

У

19

a –

= a +(–

b )

b

Вычитание векторов.

- b

b

- b

a -

b

a

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

a

20

Вычитание векторов.

MF - SF =

MF + FS

= MS

= MO

= MR + RO

RO + MR

RO - RM =

= MS

MD - SD =

MD + DS

= RA

RO + OA

RO - AO =

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

RO - RO =

= 0

= RR

RO + OR

= TS + SO

- OS - ST =

= TO

SO + TS

21

№ 768 Точки М и N – середины сторон АВ и АС

треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN

через векторы = АМ и = А N

b

a

В

a

-

ВМ =

b

М

NC =

a

-

a + b

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

MN =

MA + AN

=

b

А

С

N

+ b

a

-

-

a

BN =

BA + AN

=

22

Найдите

АВ + AD – DC – OD

АВ + AD – DC – OD

ABCD - прямоугольник

C

B

5

3

О

А

D

4

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

( )

= АО

= АС + CD + DO

= АС – DC – OD

23

АВ + ВС =

А S + S С =

АО + ОР =

NM + ML =

MN + NR =

RP + PR =

MK + KM =

ZK + KZ =

DE + KD =

MK + OM =

ON =

OB =

AS =

RA =

XH =

KX =

MD =

AD =

OP =

FO =

24