Презентация по теме "Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды"

Формулы для вычисления объёмов пирамиды и усечённой пирамиды

Выполнили: Каторкина Елизавета

Жулина Елизавета

11 «Б» класс

Учитель: Мартынова Екатерина Владимировна

Определение пирамиды и её виды

Пирамида – это многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит n-угольник, пирамида называется n-угольной. Она имеет n боковых граней. Пирамида является частным случаем конуса.

Свойства пирамиды

• Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
• Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
• Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
• Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
• Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Формула вычисления объема пирамиды

Объем V пирамиды с высотой, равной h, и основанием, площадь которого равна S, вычисляют по формуле:

Приступим к решению задачи

Найдите высоту пирамиды, объём которой равен 20 см 3 , а площадь основания – 15 см 2 .

Решение:

V= S*h

• Выразим высоту пирамиды из формулы

h =

h = = = 4см

ОТВЕТ: 4см

Дано:

V пирамиды = 20см 3

S осн. = 15см 2

Найти:

h высоту - ?

радиус основания будет равен стороне этого шестиугольника, то есть 5см S 3 = (формула площади прав.треугольника) = S 6 = * 6 = = см 2 3. Найдем высоту пирамиды по обратной т.Пифагора: h = = = =12см 4. Найдем объём пирамиды V = * 12 * = 2 * 75 = 150 см 3 ОТВЕТ: 150 см 3 Дано: Прав.6-ая пирамида CD = 5см(сторона осн.) CG = 13см(бок.ребро) G Найти: V пирамиды - ? F E A D C B " width="640"

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 5см, а боковое ребро – 13см. Найдите объём пирамиды.

Решение:

V= S*h

• Т.к. в основании лежит правильный шестиугольник, то его можно разбить на шесть правильных треугольников = радиус основания будет равен стороне этого шестиугольника, то есть 5см
• S 3 = (формула площади прав.треугольника) =

S 6 = * 6 = = см 2

3. Найдем высоту пирамиды по обратной т.Пифагора:

h = = = =12см

4. Найдем объём пирамиды

V = * 12 * = 2 * 75 = 150 см 3

ОТВЕТ: 150 см 3

Дано:

Прав.6-ая пирамида

CD = 5см(сторона осн.)

CG = 13см(бок.ребро)

G

Найти:

V пирамиды - ?

F

E

A

D

C

B

Определение усечённой пирамиды и её виды

Усечённая пирамида — часть пирамиды, заключенная между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В основании находится n – угольник.

Формула вычисления объёма усеченной пирамиды

Объём V усеченной пирамиды с высотой, равной h, и основаниями, площади которых равны S 1 и S 2 , вычисляются по формуле:

A 1 D 1 = = = = 4см 3. Найдём площадь верхнего основания. S 2 =3⋅4=12 (см²). 4. Найдем объём пирамиды V = * 6 * (192 + + 12) = 2 * (204 + ) = 2 * (204 + 48) = 2 * 252 = 504 см 3 ОТВЕТ: 504 см 3 Найти: V усеч.пирамиды - ? " width="640"

Приступим к решению задачи

Основаниями усеченной пирамиды, высота которой равна 6 см, являются прямоугольники. Стороны одного основания равны 12 см и 16 см, а меньшая сторона другого – 3 см. Найдите объём усечённой пирамиды.

Решение:

Дано:

Усечённая пирамида, основаниями которой являются прямоугольники.

• OO 1 Высота — 6 см.
•   AD = 16 см
• DC = 12 см
• D 1 C 1 = 3 см

1.Найдём площадь нижнего основания.

S 1 =12*16=192 см²

2. Найдём сторону A1D1

= = A 1 D 1 = = = = 4см

3. Найдём площадь верхнего основания.

S 2 =3⋅4=12 (см²).

4. Найдем объём пирамиды

V = * 6 * (192 + + 12) = 2 * (204 + ) = 2 * (204 + 48) = 2 * 252 = 504 см 3

ОТВЕТ: 504 см 3

Найти:

V усеч.пирамиды - ?

БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!