Презентация на тему "Погрешность"

Погрешность. Приближенные и точные величины

Числа бывают точными и приближенными. Точные числа получаются при счете отдельных предметов и понятий (пример: 27 булок, 45 шагов); точными числами являются масштабные коэффициенты (пример: 1 м = 100 см = 1000 мм, масштаб карты равен 1:25000).

Приближенные числа получают, как правило, из измерений. Все измерения имеют некоторую погрешность, величина которой зависит от точности средства измерения и квалификации исполнителя, поэтому для приближенных чисел форма записи имеет значение, так как характеризует точность измерения.

Числа, встречающиеся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие – только приблизительное.

Первые называют точными, вторые – приближёнными. Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет. Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м, не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное значение величины.

Чаще всего удобно пользоваться приближёнными числами вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни на практике.

Приближённые числа могут получаться прежде всего при счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.

ПРИМЕР:

Если в классе есть 29 учеников, то число 29 – точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 – приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.

Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и к приближённому числу. Но часто число получается в результате измерения какойнибудь величины, например, длины, площади, объёма, веса. Такое число (его называют значением величины) всегда бывает приближённым. Измерение всегда приводит не к точному, а к приближённому числу с той или другой степенью точности. Всякое измерение (длины, веса и т. д.) выполняется только приблизительно.

Иногда, даже в тех случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и небольшая разница.

Приближённые значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения.

ПРИМЕР:

На рулоне обоев написано, что его длина равна 18 ± 0,3 м.

Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м. Другими словами длина рулона должна находиться между

18 – 0,3 = 17,7 и 18 + 0,3 = 18,3.

17,7 ≤ Длина рулона ≤ 18,3

ПРИМЕР:

Если измеряя длину х некоторой рейки, выявили, что она больше от 6,427 м и меньше от 6,429 м, то записывают:

х = 6,428 ± 0,001 м.

Или 6,427 м ≤ х ≤ 6,429 м

Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью до 0,001 м (одного миллиметра).

Через то, что мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, достав сотые части, и т. д. В таких случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятку. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.

Погрешность измерения

Погре́шность измере́ния — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Погрешность измерения является характеристикой точности измерения. Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения.

х – точное число а – приближенное число

Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆ или ∆а:

| х – а | = ∆ или | х – а | = ∆а

∆ или ∆а абсолютная погрешность измерения величины а. (а- масса предмета, длина предмета, температура…….).

П усть у нас есть точное число х=1/3. Разделим 1 на 3. Тогда получим а= 1 : 3 0,33.

Найдем абсолютную погрешность приближения точного числа 1/3 числом 0,33.

| х – а | = ∆а

∆а= | 1/3 – 0,33 |= | 1/3 – 33/100 |= | 1/3 – 33/100 |= | 100/300 –

9 9/300 |=| 1/300 |= 1:300 0,003

Погрешность приближения точного числа 1/3 приближенным числом 0,33 составляет 0,003.

Чем меньше относительная погрешность, тем точнее выполнено измерение.

Если абсолютная погрешность не известна, то при выполнении измерений, за абсолютную погрешность принимают цену деления прибора.

Ценой деления шкалы прибора называет расстояние между двумя ближайшими штрихами на шкале прибора.

Для нахождения цены деления шкалы можно поступить следующим образом:

• найти две соседних отметки шкалы, возле которых написаны величины, соответствующие этим отметкам шкалы;

• найти разность этих величин;

• сосчитать количество промежутков между величинами отметок шкалы;

• полученную разность величин разделить на количество промежутков.

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:  левый термометр – 10:10=1°C;  правый термометр – 20:10=2°C.

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Рассмотрим формулу абсолютной погрешности:

| х – а | = ∆а х – точное число а – приближенное число (полученное при измерении).

Т.к., при выполнении измерений, нам не известно точное значение величины х, то из формулы | х – а | = ∆а, мы не можем найти ∆а.

Например, мы измеряем отрезок СD

Мы не знаем ∆а, т.к. не знаем точное значение х. Но мы можем сказать, что ∆а ≤ h – границы абсолютной погрешности. Т.е. h- это самая большая абсолютная погрешность. В дальнейшем, слово граница могут не говорить. Говорят абсолютная погрешность. На самом деле- это граница абсолютной погрешности. Никто и никогда, при выполнении измерений не может найти точное значение величины. Поэтому его и называем х. И как следствие, никто и никогда не может найти абсолютную погрешность. При измерениях мы имеем приближенное значение величины а (которое получили в результате измерений) и границу абсолютной погрешности h. ∆а принимаем равной h.

Если в результате измерения мы получили длину отрезка 78 мм, то истинное значение отрезка лежит в промежутке х = 78мм ± 1 мм или 77мм ≤ х ≤ 79мм.

(Т.к. h=∆а (∆а –максимальная абсолютная погрешность) цена деления линейки 1 мм).

Говорят длина отрезка равна х с точностью до h.

В нашем случае: длина отрезка равна 78мм с точностью до 1мм.