Презентация к уроку по теме: "Понятие величины в математике"

Обозначим:

Тогда

, а это означает, что

Следовательно, по определению,

является бесконечно малой величиной при

Верна и обратная

ТЕОРЕМА

Если функцию f(x) можно представить как сумму числа А и бесконечно малой величины

при

или

то число А является пределом этой функции при

или при

Свойства бесконечно

малых

величин

1

Алгебраическая сумма бесконечно

малых величин есть величина

бесконечно малая .

2

Произведение бесконечно малой

величины на ограниченную функцию

есть величина бесконечно малая .

3

Частное от деления бесконечно малой

величины на функцию, предел которой

отличен от нуля, есть величина

бесконечно малая .

ПРИМЕР.

Пусть

являются бесконечно малыми величинами при

поскольку

Функция

является ограниченной на любом промежутке, поскольку

Функция

имеет предел при

Тогда функции

являются бесконечно малыми величинами при

Замечание

Предел отношения двух бесконечно малых величин

• может быть равен нулю, тогда α(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(х);

• может быть равен числу А, не равному нулю, тогда α(х) и β(х) имеют одинаковый порядок малости;

• может быть равен бесконечности, тогда α(х) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(х).