Правильные многогранники

Кузьмина Елена Александровна

Колобовская МСОШ

Грани многогранника - это многоугольники, которые его образуют.

Ребра многогранника - это стороны многоугольников.

Вершины многогранника - это вершины многоугольников.

Диагональ многогранника - это отрезок, соединяющий 2 вершины, не принадлежащие одной грани.

Многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходятся одинаковое число рёбер.

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэрролл

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий»: огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

Тетраэдр олицетворял огонь , поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.

Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду .

Куб – как самая устойчивая из фигур – землю .

Октаэдр – воздух .

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Платон

(ок. 428 – ок. 348 до н.э.)

«Тетраэдр» в переводе с греческого языка означает «четырехгранник». Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. Он составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 º .

«Гексаэдр» в переводе с греческого языка означает «шестигранник». Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 º .

«Октаэдр» в переводе с греческого языка означает «восьмигранник» . Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240 º .

«Додекаэдр» в переводе с греческого языка означает «двенадцатигранник» . Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 º .

«Икосаэдр» в переводе с греческого языка означает «двадцатигранник». Составлен из двадцати правильных треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 º .

Правильный многогранник

Число

граней

Тетраэдр

вершин

4

Куб

6

рёбер

4

Октаэдр

8

8

6

граней и вершин

Додекаэдр

4 + 4 = 8

6

12

Икосаэдр

12

6 + 8 = 14

12

20

20

8 + 6 = 14

30

12

12 + 20 = 32

30

20 + 12 = 32

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула: В + Г – Р = 2

додекаэдр

тетраэдр

октаэдр

гексаэдр

икосаэдр

Используемая литература и Интернет-ресурсы:

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. общеобразоват. учреждений. – 7-е изд. – М: Просвещение, 1997.

2. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин. – М: Педагогика, 1989.

3. Википедия – свободная энциклопедия – http://ru.wikipedia.org/

4. Рисунки. Яндекс – http://images.yandex.ru/