Практические задачи с применением тригонометрии

Занятие по математике на тему «Практические задачи с применением тригонометрии»

группа МС-16-1

Преподаватель: Пересыпкина Е. А.

Практические задачи с применением тригонометрии

ТРИГОНОМЕТРИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ

Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.

Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия,

   в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике,

в биологии, в медицинской визуализации ,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии,

в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках,

в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве,

в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Восход и заход солнца

Изменение фаз Луны

Чередование времен года

Затмение и движение планет

Вращение колеса

Морские приливы и отливы

Эпидемии гриппа

Модель биоритмов

• Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций
• Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Тригонометрия в медицине

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Тригонометрия в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:

Механические колебания

Гармонические колебания

Механические колебания

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Теория радуги

• Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:
•   sin α / sin β = n 1 / n 2

n 1 показатель преломления первой среды

n 2  показатель преломления второй среды

α -угол падения, β -угол преломления

Северное сияние

• Оно возникает при проникновении в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра, и определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
• Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца.

  Fл = q·V·B·sin a

q- величина заряда движущегося во внешнем магнитном поле

  V- модуль скорости движущегося заряда  B- модуль вектора индукции внешнего магнитного поля   a- угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции.

Тригонометрия в архитектуре

• Детская школа Гауди в Барселоне

• Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Взмах крыльев птицы при полете напоминает синусоиду

Какой четверти принадлежит угол(у доски):

1. 185°

6 . 590°

2. 102°

7. 746°

3. -102°

8. -15°

4. 250°

9. 312°

5. -250°

10. -192°

0 6. сos315°2. cos212° 0 7. tg15° 0 3. tg365° 0 8. sin470°4. ctg290° 0 9. ctg143°5. sin94° 10. соs56° " width="640"

Найдитe ошибки(устно):

1. sin128° 0

6. сos315°

2. cos212° 0

7. tg15° 0

3. tg365° 0

8. sin470°

4. ctg290° 0

9. ctg143°

5. sin94°

10. соs56°

Определите знак выражения(у доски):

1. sin213°tg46°cos389°

2. cos819°sin119°tg512°

3 . tg212°cos200°sin89°

4. cos72°sin179°cos600°

Найдите значение выражения(у доски):

• 2cos0° - 4sin90° + 5tg180°
• 2ctg90° - 3cos270° + 5sin180°
• 6tg30° + 4sin60° - ctg30°
• 4sin90° - 3cos180°
• 8cos90° + 7sin360° + 12tg180°

Основные тригонометрические формулы(самостоятельно)

.

Вариант 1

Вариант 2

Найдите :

Найдите:

sinα, tgα, ctgα,

sinα, cosα, сtgα,

если

если

tgα= 2

cosα= - 5/13

π

π/2

Упростите выражение(самостоятельно):

вариант 1 вариант 2

1. 1 – sin²α 1. 1 - cos²α

2. sin²α + cos²α + tg²α 2. sin²α + cos²α +сtg²α

3. tgαctgα + ctg²α 3. tgαctgα + tg²α

4. 1 – cos²α - sin²α 4. -1 + cos²α + sin²α

5. sin²α – tgαctgα 5. cos ²α – tgαctgα

6. sinαctgα 6. cosαtgα

Замените функцией угла α :

• sin(π/2 – α) 6. sin(270° - α)
• cos(3π/2 –α) 7. tg(360°+α)
• tg(π + α) 8. cos(π – α)
• cos(2π –α) 9. ctg(90°- α)
• ctg(π/2 + α) 10. sin(180°+α)

Задачи на косвенное измерение величин.

Знание тригонометрических функций позволяет нам решать такие задачи с большей точностью.

1.Определить высоту предмета, к основанию которого подойти нельзя.

Например, нужно определить высоту телевизионной антенны, которая отделена от нас рекой.

Астролябия

Астролябия – инструмент используется для измерения

небесной высоты. Небесная высота относительная «высота»

звезды, планеты или другого небесного объекта над горизонтом.

2.Определить расстояние между пунктами А и В, разделенными

препятствиями.

а ) Пусть требуется найти расстояние от пункта А до пункта В, находящегося за рекой.

б) Пусть нужно определить расстояние от пункта А до пункта В, между которыми находится водное пространство .

3.Определить значение величин в задачах, в которых непосредственное измерение произвести невозможно

в )На рис. ниже показан кривошипно-шатунный механизм бензинового двигателя. Плечо ОА имеет длину 11 см и вращается по часовой стрелке вокруг О. Шатун АВ имеет длину 32 см, и конец В движется горизонтально. Определить угол между шатуном АВ и горизонталью показанном на рис .

г )На рис. показаны два вектора напряжения, V 1 =50В и V 2 =90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V 1 .

Тригонометрия в нашей специальности

Примеры минимальных уклонов канализации

Разметка и резка труб под углом круглого сечения

Пример лекала для трубы диаметром 630мм, угол среза 10 град.

Резка трубы под углом

производится по бумажным лекалам, обернутым вокруг заготовки.

Какой бы способ резки труб не был выбран, необходимо следить за точностью нанесения разметки. От этого зависит точность реза.

Поэтому изготовим лекала с помощью миллиметровой бумаги.

Цилиндр, пересеченный наклонной плоскостью. Формула для построения развертки.

y=R· tgα· sinx,

где α-угол среза трубы,R-радиус трубы

Пример цилиндрической трубы с коленом, угол 45 ͦ. развертка

Пример цилиндрической трубы с коленом, угол 60 ͦ. развертка

Задание по вариантам(выполняется на миллиметровой бумаге)

• 1й вариант - построить лекало трубы диаметром 40мм, угол среза 30 ͦ.

• 2й вариант - построить лекало трубы диаметром 50мм, угол среза 60 .

• 3й вариант - - построить лекало трубы диаметром 30мм, угол среза 45 ͦ

Рефлексия

1. На уроке я работал                 активно / пассивно

2. Своей работой на уроке я   доволен / не доволен

3. Урок для меня показался     коротким / длинным 

4. За урок я                                     не устал / устал

5. Мое настроение              стало лучше / стало хуже

6. Материал урока мне был     понятен / не понятен, полезен / бесполезен