ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Вычисление производных

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Вычисление производных

Цель: совершенствовать умения вычислять производные элементарных функций.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Иллюстрация понятия производной

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функцияПроизводной функции в точке называется предел, если он существует,

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

• 

• 

• 

• 

• …(g ≠ 0)

• (g ≠ 0)

Геометрический смысл производной

На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Пример №1. Найти производную функции .

Решение. .

Пример №2. Найти производную функции и вычислить ее значения в точках и

Решение.

Пример №3. Найти производную функции .

Решение.

Пример №4. Найти производную функции .

Решение.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Найдите производные следующих функций:

;

;

1. Найдите производные следующих функций:

;

;

;

;

1. Вычислите значение производной:

;

;

1. Вычислите значение производной:

;

1. Найдите производную следующих функций:

1. Найдите производные следующих функций:

;

1. Найдите производные следующих функций:

;

1. Найдите производные следующих функций:

;

;

.

2