Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

А

N

M

α

Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника .

K

D

В

С

2

2

Аксиомы и теоремы стереометрии

А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В

А

α

3

3

Аксиомы и теоремы стереометрии

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна

α

3

3

Аксиомы и теоремы стереометрии

β

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

А

a

α

5

5

Аксиомы и теоремы стереометрии

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

β

α

γ

5

5

Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

7

7

Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани.

2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам.

3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

7

7

Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K .

Построение:

S

1 . DE

2. ЕК

3. ЕК ∩ АС = F

4 . FD

5. FD ∩ B С = M

6 . KM

E

D Е K М – искомое сечение

K

F

А

С

M

D

В

9

9

Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС.

Построение:

В 1

C 1

1. К P

Р

2. EM ║ К P (К 1 Р 1 )

К

3. EK

4. М N ║ EK

А 1

D 1

5. Р N

N

K Р N М E – искомое сечение

М

С

В

Р 1

А

D

E

К 1

10

10

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.

Построение:

C 1

В 1

Выберите верный вариант:

1. НМ

1. МТ

А 1

D 1

1. Н T

Н

Т

С

В

М

D

А

11

11

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.

Построение:

В 1

1. НМ

C 1

Комментарии:

Данные точки принадлежат разным граням!

А 1

D 1

Н

Т

С

В

М

Назад

D

А

12

12

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ.

Построение:

В 1

1. М T

C 1

Комментарии:

Данные точки принадлежат разным граням!

А 1

D 1

Н

Т

С

В

М

Назад

D

А

13

13

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

Выберите верный вариант:

2. НТ ∩ B С = Е

А 1

D 1

2. НТ ∩ D С = Е

Н

Т

С

В

М

D

А

14

14

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ ВС = Е

А 1

D 1

Комментарии:

Данные прямые - скрещивающиеся!

Пересекаться не могут!

Н

Т

С

В

М

Назад

D

А

15

15

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

1. НТ

В 1

C 1

2. НТ ∩ D С = Е

Выберите верный вариант:

А 1

D 1

3 . ME ∩ AA 1 = F

Н

3 . ME ∩ CC 1 = F

3 . ME ∩ B С = F

Т

Е

С

В

М

D

А

16

16

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ AA 1 = F

А 1

D 1

Комментарии:

Данные прямые - скрещивающиеся!

Пересекаться не могут!

Н

Т

E

С

В

М

Назад

D

А

17

17

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ CC 1 = F

А 1

D 1

Комментарии:

Данные прямые - скрещивающиеся!

Пересекаться не могут!

Н

Т

E

С

В

М

Назад

D

А

18

18

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

Выберите верный вариант:

4. Н F

Н

4. МТ

Т

4. Т F

E

F

С

В

М

D

А

19

19

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Н F

Н

Комментарии:

Данные точки принадлежат разным граням!

Т

E

F

В

С

М

Назад

D

А

20

20

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. MT

Н

Комментарии:

Данные точки принадлежат разным граням!

Т

E

F

В

С

М

Назад

D

А

21

21

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

Выберите верный вариант:

Н

5. Т F ∩ А 1 А = K

Т

5. Т F ∩ В 1 В = K

E

F

С

В

М

D

А

22

22

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

5. Т F ∩ А 1 А = K

Н

Комментарии:

Данные прямые - скрещивающиеся!

Пересекаться не могут!

Т

E

F

С

В

М

Назад

D

А

23

23

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

В 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

5. Т F ∩ В 1 В = K

Н

Выберите верный вариант:

Т

6 . Н K ∩ А D = L

6. Т K ∩ А D = L

6. М K ∩ АА 1 = L

E

F

С

В

М

А

D

K

24

24

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

Комментарии:

Данные прямые - скрещивающиеся!

Пересекаться не могут!

1. НТ

В 1

C 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

5. Т F ∩ В 1 В = K

Н

6. Н K ∩ А D = L

Т

E

F

С

В

М

Назад

А

D

K

25

25

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

Комментарии:

Данные прямые - скрещивающиеся!

Пересекаться не могут!

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

5. Т F ∩ В 1 В = K

Н

6. T K ∩ А D = L

Т

E

F

В

С

М

Назад

D

А

K

26

26

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

C 1

1. НТ

В 1

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

Н

5. Т F ∩ В 1 В = K

6. М K ∩ АА 1 = L

Т

Выберите верный вариант:

7. LF

7. LT

E

F

С

В

М

L

7. LH

D

А

K

27

27

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

Комментарии:

Данные точки принадлежат разным граням!

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

5. Т F ∩ В 1 В = K

Н

6. М K ∩ АА 1 = L

Т

7. L Т

E

F

В

С

L

М

Назад

D

А

K

28

28

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

Комментарии:

Данные точки принадлежат разным граням!

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

5. Т F ∩ В 1 В = K

Н

6. М K ∩ АА 1 = L

Т

7. LF

E

F

В

С

L

М

Назад

D

А

K

29

29

Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т.

Построение:

В 1

C 1

1. НТ

2. НТ ∩ D С = E

3 . ME ∩ ВС = F

А 1

D 1

4. Т F

Н

5. Т F ∩ В 1 В = K

6. М K ∩ АА 1 = L

Т

7. L Н

НТ F М L – искомое сечение

E

F

В

С

L

М

D

А

K

30

30

Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K .

Построение:

1. KF

К

2. FE

В 1

3. FE ∩ А B = L

C 1

F

4 . LN ║ FK

5 . LN ∩ AD = M

А 1

6 . EM

D 1

7 . KN

E

EFKNM – искомое сечение

N

В

С

Пояснения к построению:

4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам).

А

Пояснения к построению:

3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L .

Пояснения к построению:

2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В.

Пояснения к построению:

1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 .

М

L

D

Пояснения к построению:

6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D .

Пояснения к построению:

7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .

Пояснения к построению:

5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M .

31

31

Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС

Построение:

S

1. КМ

2. КМ ∩ СА = Е

3. E Р

4 . ЕР ∩ АВ = F

ЕР ∩ В C = N

К

5 . М F

6 . N К

КМ FN – искомое сечение

М

Е

С

Р

А

F

N

В

32

32

Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М.

К

В 1

C 1

А 1

D 1

L

В

С

А

D

М

33

33

Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L .

В 1

C 1

К

А 1

D 1

L

В

С

А

D

F

34

34