Понятие «бесконечность» в математике

Развитие понятия «бесконечность» в математике

Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия или повседневная жизнь

Бесконечность чужда нашему непосредственному опыту, и в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных границ.

Одним из самых выдающихся философов Древней Греции, задумывавшимся над проблемой конечного и бесконечного, был Пифагор. «Число – олицетворение добра, а бесконечная пустота – олицетворение зла. Конечное и упорядоченное неизмеримо ценнее, чем бесконечное и неопределенное. В конечности – красота и совершенство. В безграничности – незавершенность и несовершенство. Следует преклоняться перед конечным и питать отвращение к бесконечному», - в этом выражалось учение Пифагора о бесконечности.

Еще один древнегреческий ученый, Аристотель, понимал, что наука о природе не может отказаться от понятия бесконечного. По его мнению, бесконечность – это процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и нет последнего.

Например: бесконечная последовательность натуральных чисел, которую можно получить путем последовательного прибавления единицы. Подобную бесконечность Аристотель называл потенциальной, которую он понимал, как осуществимость сколь угодно большого, но конечного числа объектов. Бесконечность же, которая предполагает возможность завершения бесконечного процесса, он называл актуальной. Аристотель утверждал, что математики вполне могут обойтись потенциальной бесконечностью. Актуальную бесконечность следует отбросить как ненужную. Величайший мыслитель Древней Греции, Аристотель достиг высот теоретической мысли, но в то же время провел непроходимую грань между прикладными задачами и научной теорией. Он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями, а реальные вещи ее совершенно не должны интересовать.

Первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знания, в частности понятие бесконечности для решения практических задач, был Архимед. Он первым вычислил площадь круга как предел площади, вписанного в окружность правильного многоугольника, когда число его сторон ограниченно возрастает, то есть стремится к бесконечности.

Определение бесконечности в словарях встречаются разные, вот некоторые из них.

1. Отсутствие конца, предела наличию каких–либо однородных объектов в пространстве или момента осуществления каких-либо процессов.

2. Пространство, не имеющее видимых границ, пределов.

3. Условная величина, которая больше любого наперёд заданного значения (Обозначается знаком  ∞ ).

Свойства бесконечности

1. Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел

2. Множество Целых чисел называется Дискретным

3. Между любыми двумя рациональными числами всегда будет располагаться бесконечно много других рациональных чисел

4. Множество Рациональных чисел называется Непрерывным

5. Если мы можем указать следующее число в множестве, то оно имеет Плотность

6. Плотность делает бессмысленным понятие «следующего» рационального числа

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении своей исследовательской работы хотелось бы сказать, что роль бесконечности в математике очень велика.  Она способна удивить, ведь, работая только с конечными промежутками, мы никогда бы не задумались о том, что в множестве натуральных чисел и в множестве натуральных чётных неотрицательных чисел одинаковое количество элементов, ведь множество натуральных чётных неотрицательных чисел -  это часть множества натуральных чисел, и, по идее, оно должно иметь меньше элементов. Я считаю, что это удивительно.

Конечно же, понятие бесконечности как в математике, так и в других науках неоднозначно, и человечеству только предстоит узнать всё о ней. До сих пор не известно бесконечна ли галактика, вселенная и т.д.

Математика — это шаг через бесконечность. Освоение математики — это, когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это наука о бесконечности. В этом смысле, математика и религия дополняют друг друга. Религия — это знание о бесконечности, математика — наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.