Показательная функция

«Показательная функция»

0,  1. Примеры: " width="640"

Определение

Показательная функция – это функция вида ,

где x – переменная,

- заданное число, 0,  1.

Примеры:

График показательной функции

Т.к. , то график любой показательной функции проходит через точку (0; 1)

у

у

1

1

х

х

0

0

1 функция возрастающая; при 0 D(y) = R ; E(y) = (0; + ∞) ; " width="640"

Свойства показательной функции

• Область определения: все действительные числа
• Множество значений: все положительные числа

• При 1 функция возрастающая; при 0

D(y) = R ;

E(y) = (0; + ∞) ;

Показательные уравнения

Простейшие уравнения

Определение

Способы решения сложных уравнений

Определение

Уравнение, в котором переменная содержится в показателе степени, называется показательным.

Примеры:

Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

Простейшее показательное уравнение решается с использованием свойств степени.

Способы решения сложных показательных уравнений.

Замена переменной

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Деление на показательную функцию

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется, если соблюдаются два условия:

1) основания степеней

одинаковы;

2) коэффициенты перед

переменной одинаковы

Например:

Замена переменной

При данном способе показательное уравнение сводится к квадратному.

Способ замены переменной используют, если

а) основания степеней одинаковы;

показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем

у другой.

коэффициенты перед

переменной противоположны.

Н апример :

2 2 - х – 2 х – 1 =1

б)

Например :

3 2 x – 4 · 3 х – 45 = 0

Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если основания степеней разные.

а) в уравнении вида a x = b x делим на b x

Например : 2 х = 5 х | : 5 x

б) в уравнении A a 2 x + B ( ab ) x + C b 2 x = 0

делим на b 2x .

Например :

3  25 х - 8  15 х + 5  9 х = 0 | : 9 x

Показательные неравенства

Простейшие неравенства

Определение

Решение неравенств

Определение

Показательные неравенства – это неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Примеры:

0, a  1, b – любое число . " width="640"

Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

где a 0, a  1, b – любое число .

При решении простейших неравенств используют свойства возрастания или убывания показательной функции.

Для решения более сложных показательных неравенств используются те же способы, что и при решении показательных уравнений.

• Построение графика
• Сравнение чисел с использованием свойств показательной функции
• Сравнение числа с 1

а) аналитический способ;

б) графический способ.

Задача 1 Построить график функции y = 2 x

у

8

7

6

5

4

3

2

1

y

x

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

х

- 3 - 2 -1 0 1 2 3

Задача 2 Сравнить числа

Решение

Ответ:

Задача 3 Сравнить число с 1.

Решение

-5

Ответ:

1 , то функция у = 2 t – возрастающая. Ответ: 2 3 1. Ответ: 1 " width="640"

Задача 4 C равнить число р с 1

р =

р =

0

– убывающая

2 1 , то функция у = 2 t – возрастающая.

Ответ: 2 3 1.

Ответ:

1

• Простейшие показательные уравнения
• Уравнения, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем
• Уравнения, решаемые заменой переменной случай 1;

случай 2.

• Уравнения, решаемые делением на показательную функцию случай 1;

случай 2.

Простейшие показательные уравнения

Ответ: - 5,5 .

Ответ: 0; 3.

Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

x + 1 - (x - 2) =

= x + 1 – x + 2 = 3

Ответ: 5

0) t 2 – 4 t – 45 = 0 По т. Виета: t 1 · t 2 = - 45; t 1 + t 2 = 4 t 1 = 9 ; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию 3 x = 9 ; 3 x = 3 2 ; x = 2 . Ответ : 2 " width="640"

Замена переменной (1)

основания степеней одинаковы, показатель одной из степеней в 2 раза больше, чем у другой .

3 2 x – 4 · 3 х – 45 = 0

t = 3 x ( t 0)

t 2 – 4 t – 45 = 0

По т. Виета: t 1 · t 2 = - 45; t 1 + t 2 = 4

t 1 = 9 ; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию

3 x = 9 ; 3 x = 3 2 ; x = 2 .

Ответ : 2

Замена переменной (2)

Основания степеней одинаковы,

коэффициенты перед переменной противоположны.

По т. Виета:

- Не удовлетворяет условию

Ответ: 1

Деление на показательную функцию

Ответ: 0

Деление на показательную функцию

Ответ: 0; 1.

• Простейшие показательные неравенства
• Двойные неравенства
• Неравенства, решаемые вынесением за скобки степени с меньшим показателем
• Неравенства, решаемые заменой переменной

Простейшие показательные неравенства

1 , то Ответ: (- 4; -1). " width="640"

Двойные неравенства

3 1 , то

Ответ: (- 4; -1).

1 , то знак неравенства остается прежним : 10 Ответ: х 3 " width="640"

Решение показательных неравенств

Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим

показателем

Т.к.

3 1 , то знак неравенства остается прежним

: 10

Ответ: х 3

1 , то Ответ: х -1. " width="640"

Решение показательных неравенств

Метод: Замена переменной

3 1 , то

Ответ: х -1.