Первообразная и неопределенный интеграл. свойства неопределенного интеграла

УРОК ПО ТЕМЕ

« ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА».

Проблемное изложение.

Проблемно – поисковые технологии обучения.

ЦЕЛЬ УРОКА :

- активизировать мыслительную деятельность;

- способствовать усвоению способов исследова-

ния;

- обеспечить более прочное усвоение знаний.

ЗАДАЧИ УРОКА:

• ввести понятие первообразной;

• доказать теорему о множестве первообразных для заданной функции (применяя определение первообразной);

• ввести определение неопределенного интеграла;

• доказать свойства неопределенного интеграла;

• отработать навыки использования свойств неопределенного интеграла.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ РАБОТА :

• повторить правила и формулы дифференцирования

• понятие дифференциала.

ХОД УРОКА

Предлагается решить задачи. Условия задач записаны на доске.

Учащиеся дают ответы по решению задач 1, 2.

(Актуализация опыта решения задач на использование дифферен-

цирования ).

1. Закон движения тела S(t) , найти его мгновенную

скорость в любой момент времени.

- V(t) = S(t).

2. Зная, что количество электричества, протекающего

через проводник выражается формулой q (t) = 3t - 2 t,

выведите формулу для вычисления силы тока в любой

момент времени t.

- I (t) = 6t - 2.

3 . Зная скорость движущегося тела в каждый момент вре-

мени, найти закон его движения.

1. Зная , что сила тока проходящего через проводник в лю-

бой момент времени I (t) = 6t – 2 , выведите формулу для

определения количества электричества, проходящего

через проводник.

Учитель : Возможно ли решить задачи № 3 и 4 используя

имеющиеся у нас средства ?

( Создание проблемной ситуации ).

Предположения учащихся :

- Для решения этой задачи необходимо ввести операцию,

обратную дифференцированию.

- Операция дифференцирования сопоставляет заданной

функции F (x ) ее производную.

F (x) = f (x).

Учитель : В чем заключается задача , дифференцированию?

Вывод учащихся :

- Исходя из данной функции f (x) , найти такую функцию

F (x) производной которой является f (x) , т.е.

f (x) = F(x) .

Учитель :

Такая операция называется интегрированием, точнее

неопределенным интегрированием.

Раздел математики, в котором изучаются свойства операции интегрирования функций и ее приложения к решению задач физики и геометрии, называют интегральным исчислением.

Интегральное исчисление _ это раздел математического анализа, вместе с дифференциальным исчислением, оно составляет основу аппарата математического анализа.

Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но быть может переменной скорости движения, и значительно более древняя задача – вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

В чем состоит неопределенность этой обратной операции предстоит выяснить.

Введем определение. ( кратко символически записывается

на доске ).

Определение 1. Функцию F (x) , заданную на некотором промежут

ке X, называют первообразной для функции задан-

ной на том же промежутке, если для всех x X

выполняется равенство

F(x) = f (x) или d F(x) = f (x) dx .

Например. ( x) = 2x, из этого равенства следует, что функция

x является первообразной на всей числовой оси

для функции 2x.

Используя определение первообразной , выполните упражнение

№ 2 ( 1,3,6 ) . Проверьте, что функция F является первообраз-

ной для функции f, если

1) F (x) = 2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F (x) = tgх - cos 5x , f (x) = + 5 sin 5x.

3) F (x) = x sin x + , f (x) = 4x sinx + x cosx + .

Решения примеров записывают на доске учащиеся, комменти-

руя свои действия.

Учитель :

Является ли функция х единственной первообразной

для функции 2х ?

Учащиеся приводят примеры

х + 3 ; х - 92, и т.д. ,

Вывод делают сами учащиеся :

любая функция имеет бесконечно много первообразных.

Всякая функция вида х + С, где С – некоторое число,

является первообразной функции х.

Теорема о первообразной записывается в тетради под диктовку

учителя.

Теорема. Если функция f имеет на промежутке первообраз-

ную F, то для любого числа С функция F + C также

является первообразной для f . Иных первообразных

функция f на Х не имеет.

Доказательство проводят учащиеся под руководством учителя.

а) Т.к. F - первообразная для f на промежутке Х, то

F (x) = f (x) для всех х Х.

Тогда для х Х для любого С имеем :

( F (x) + C ) = f (x) . Это значит, что F (x) + C - тоже

первообразная f на Х .

б) Докажем , что иных первообразных на Х функция f

не имеет.

Предположим , что Ф тоже первообразная для f на Х.

Тогда Ф(x) = f (x) и потому для всех х Х имеем :

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, следовательно

Ф - F постоянна на Х. Пусть Ф (x) – F (x) = C , тогда

Ф (x) = F (x) + C, значит любая первообразная

функции f на Х имеет вид F + C.

Учитель : в чем заключается задача отыскания всех первообраз-

ных для данной функции ?

Вывод формулируют учащиеся:

Задача отыскания всех первообразных, решается

отысканием какой-нибудь одной: если такая первооб-

разная найдена, то любая другая получается из нее

прибавлением постоянной.

Учитель формулирует определение неопределенного интеграла.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f

называют неопределенным интегралом этой

функции.

Обозначение. ; - читается интеграл.

= F (x) + C, где F – одна из первообразных

для f , С пробегает множество

действительных чисел.

f - подынтегральная функция;

f (x)dx - подынтегральное выражение;

х - переменная интегрирования;

С - постоянная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла учащиеся изучают по учебнику самостоятельно и выписывают их в тетрадь.

1. d ( ) = f (x) dx.

2. = F (x) + C.

3. Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых.

= + .

1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

= A .

1. T.k. ( x ) = ( ) x, то при - 1,

= = + С.

Применение сделанных выводов на практике, в процессе решения примеров.

Используя свойства неопределенного интеграла, решите примеры № 1 (2,3 ).

Вычислите интегралы.

,

1. Какие свойства неопределенного интеграла следует применить, решая следующий пример ?

.

Решения учащиеся записывают в тетрадях, работающий у доски

комментирует выполняемые действия.

Учитель :

Теперь вы можете решить физическую задачу

определения пройденного пути по известной скорости ?

по известному ускорению ?

Решите задачи № 3 и 4 и запишите решение в тетрадь.

Учитель выборочно проверяет запись решения.

Решите задачу. Тело свободно падает в пустоте. Пусть s (t) –

координата тела в момент t .

Т.о. g = s(t) и g - постоянная.

Требуется найти функцию s (t) – закон движения.