Первообразная. Алгебра 11 класс

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Первообразная

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Геометрический смысл производной:

Физический смысл производной:

Если к графику функции в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси , то выражает угловой коэффициент касательной :

Если ‒ закон прямоли-нейного движения тела, то произ-водная выражает мгновенную скорость в момент времени

Если некоторый процесс протекает по закону , то выражает скорость протекания процесса в момент времени .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Заполнить пропущенные места в скобках

(…) / = 2х (…) / = 0 (…) / = 4х 3 (…) / = 25

()' = 2х ( С )' = 0 ()' = 4 (25х+С) = 25

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Извлечение корня

Возведение в степень

Дифференцирование

Интегрирование

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Производная – «производит» на свет новую функцию, первообразная - первичный образ.

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Математический смысл первообразной

дифференцирование

F(x)=

f(x)=2х

интегрирование

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Физический смысл первообразной

нагрев

охлаждение

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Функцию называют первообразной для функции на промежутке , если для выполняется равенство

− первообразная для функции ,

− первообразная для функции ,

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Проверить, что функция есть первообразная для

,

,

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Проверить, что функция есть первообразная для

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

а) Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

f(x)=3x 2 -2

F(x) = x 3 -2x+1

f(x)=4x 3

F(x)= x 4 -7

f(x)=0

F(x)=10

F(x)=

f(x)=1/2

f(x)=200x 19

F(x) =10x 10

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Алгоритм нахождения первообразной

• Подобрать функцию F(x)
• Найти её производную F / (x)
• Сравнить полученную производную F / (x) с данной функцией f(x)
• Если они совпадают, то задача решена, если нет, то вернуться к пункту 1).

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

п. 2 Правила нахождения первообразных

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Правило 1

Первообразная суммы равна сумме первообразных

Если функции и имеют на промежутке первообразные соответственно и , то и сумма функций имеет на промежутке первообразную, причем одной из этих первообразных является функция .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 1:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− первообразная для функции

− одна из первообразных функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 2:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− первообразная для функции

− одна из первообразных

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Отсюда получаем

Правило 2

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Правило 2

Если − первообразная для , то − первообразная для .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 3:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− одна из первообразных

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 4:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− одна из первообразных

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 5:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− первообразная для функции

− первообразная для функции

− одна из первообразных

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Вспомним некоторые правила дифференцирования

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Теорема 1. Если − первообразная для , то первообразной для функции служит функция .

Доказательство:

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 6:

Теорема 1. Если − первообразная для , то первообразной для функции служит функция .

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− одна из первообразных функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 7:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− одна из первообразных функции , тут

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 8:

Найти первообразную для функции .

Решение:

− первообразная для функции

− одна из первообразных функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Пример 9:

Найти первообразную для функции .

Решение:

Выражение можно представить в виде , значит

=,

− первообразная для функции

− одна из первообразных функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Теорема 2. Если − первообразная для функции на промежутке , то у функции бесконечно много первообразных, и все они имеют вид .

− все первообразные функции

− все первообразные функции

− все первообразные функции

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

Если функции и имеют на промежутке первообразные соответственно и , то и сумма функций имеет на промежутке первообразную, причем одной из этих первообразных является функция

.

Если − первообразная для , то − первообразная для .

Если − первообразная для , то первообразной для функции служит функция .

Если − первообразная для функции на промежутке , то у функции бесконечно много первообразных, и все они имеют вид .

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина

,

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ имени В.И. Истомина