Педагогические чтения «Решение комбинаторных задач"

Решение комбинаторных задач (5-6 классы)

Подготовил материал учитель: Тихонова Галина Ивановна

МОУ»С(к)ОШ№24»

Комбинаторика

• раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов

Комбинаторная задача-

это задача, требующая осуществления

перебора всех возможных вариантов

или подсчета их числа.

• Решить

комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

• Организационный перебор – строгий порядок разбора всех случаев, возможных решений.

Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов

№ 1 Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?

Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:

11;14;17;(начали с 1)

41;44;47;(начали с 4)

71;74;77;(начали с 7)

Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

Решение задачи методом полного перебора всех возможных вариантов

№ 2 Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

Решение задачи:

6 способов

Решение задач с помощью дерева возможных вариантов

• Существует более общий подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название - дерево возможных вариантов. При правильном построении дерева ни один из возможных вариантов решения не будет потерян.

Задача.

Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7 ( цифры в записи числа не повторяются ).

Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов.

число

7

4

1

1

7

1

4

7

4

1

1

4

7

4

7

Ответ: числа 147; 174; 417; 471; 714; 741

• Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Решение задачи:

Ответ: 6 способов

Правило умножения в комбинаторных задачах.

Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.

Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:

На обед в школьной столовой предлагается 2 вида супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?

Рассуждение:

Первое блюдо можно выбрать 2 способами, для каждого вида супа можно выбрать второе блюдо из трёх предложенных, уже получается 6 вариантов , осталось выбрать напиток: для каждого из 6 полученных наборов существует 4 способа выбора напитка. Итог: 24 способа.

Оформление:

Суп - 2 способа

Вторые блюда - 3 способа

Сок - 4 способа

Решение: 2 x 3 x 4= 24

Ответ:

Можно составить 24 варианта различных обедов

Перестановки в комбинаторных задачах.

В комбинаторике часто приходиться решать задачу о том, сколькими способами можно расположить в ряд или, как говорят математики, упорядочить все элементы некоторого множества. Каждое из таких расположений называю т перестановкой.

• Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось ?

Решение задачи:

6 способов

Здесь речь идет о числе перестановок, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности.

Сначала Миша выбирает, к кому отправится в первую очередь – 3 способа, затем он идет в гости к кому – то из 2 оставшихся, ну а затем – к последнему.

3•2•1= 6 способов

Задача.

В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение. Первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.

Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом 4•3•2•1=24.

Ответ: 24 способами.

• Заметим, что в решении каждой задачи получили произведение всех натуральных чисел от 1

до 3 ( в первой задаче)

до 4 ( во второй задаче)

Такое произведение записывается короче:

3•2•1 = 3! ( « три факториал» )

4•3•2•1=4! ( « четыре факториал» )

• Андрей, Боря, Витя и Дима решили покататься на карусели. На ней было 4 сиденья с изображением льва, слона, тигра и медведя. Ребята заспорили, кому где сидеть, поэтому решили перепробовать все способы. Сколько раз нужно в таком случае прокатиться на карусели?

Решение: Здесь речь идет о числе перестановок, т.е. о размещении 4 мальчиков по 4 местам разными способами: 4! = 24

Спасибо за внимание