Параллельность прямых и плоскостей

Геометия, 10 класс

Тема «Параллельность прямой и плоскости»

Цель: Рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Ввести понятие параллельности прямой и плоскости. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

Задачи:

Обучающая: формирование способности запоминания основной терминологии и символов, формирование навыков правильного оформления записей, формирование правильной математической речи.

Воспитательная: дисциплинированность, привитие интереса к предмету, уверенность в себе, уважительное отношение к окружающим, аккуратность, трудолюбие, самостоятельность, точность.

Развивающая: внимания, сообразительности, ответственности.

Тип урока: урок изучения нового материала, урок-практикум.

Этапы урока:

I. Организационный.

Приветствие, проверка готовности к уроку, объявление цели урока, формулирование цели урока. Ученикам предлагается самостоятельно сформулировать цель урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Проверка домашнего задания.

2. Сформулировать аксиомы стереометрии и следствия из них.

3. Сформулировать определение и теорему о параллельных прямых.

4. Теорема о параллельности трех прямых.

III. Объяснение нового материала.

Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость или быть параллельной плоскости.

В каком случае прямая и плоскость параллельны

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Назовите в пределах кабинета примеры прямых, параллельных плоскости.

На модели куба (рис. 2) укажите плоскости, параллельные прямой DC, прямой DD_1.

Как установить параллельность прямой и плоскости?

На модели куба видно, что  DC || (AA₁B₁). В плоскости (AA₁B₁) имеется прямая АВ такая, что АВ|| DC. В свою очередь DC || (A₁B₁C). В плоскости (А₁В₁С₁) имеется прямая D₁C₁ || DC. Наличие в плоскости α прямой b || а является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α.

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной прямой.

Дано: а, α; а ∉ α; b ∈ α; а || b (рис. 3).

Доказать, что а || α.

 Доказательство: По условию b ∈ α; b || а.

Предположим, что прямая а пересекает плоскость α, тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b пересекает плоскость α, но это невозможно, так как b ∈ α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому а || α.

Теорема доказана.

Докажем два утверждения, которыми будем пользоваться при решении задач.

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Дано: а, α, β, а || α, β ∩ α = b.   (рис. 4).

Доказать: а || b.

Доказательство: По условию а ∈ β; b ∈ β; b ∈ α; а || α, значит, а || b, так как  а || α и а || b.

2. Если одна из 2-х параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Дано: а || b; а || α (рис. 5).

Доказать: b || α. или b ∈ α.

Доказательство: По условию а || b и α || а, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b не пересекает плоскость α , то есть b || α или b ∈ α.

IV. Закрепление нового материала.

Задача № 18 (б). Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В₁ и С₁. Найдите длину отрезка СС₁, если б) АС : СВ = 3 : 2; ВВ₁ = 20 см. (рис. 6).

Решение. 

1. Докажем, что точки А, С₁, В₁ лежат на одной прямой. Точка А и ВВ₁ определяют плоскость β. Плоскости β и α пересекаются по прямой АВ₁. Докажем, что С₁ ∈ АВ₁. Пусть С₁ ∉ β, тогда СС₁ пересекается с плоскостью β в точке С. Прямые СС₁ и ВВ₁ параллельны, значит прямая ВВ₁ пересекается с плоскостью β,  что противоречит BB₁ ∈ β. СС₁ ∩ β. Следовательно, С₁ ∈ АВ₁.

2. Так как прямые ВВ₁ и СС₁ параллельны, то треугольники АСС₁ и АВВ₁ подобны. Тогда АС : АВ = СС₁ : ВВ₁. ₌  , СС_{1 =}  = 12.

Ответ: 12 см.

Задача № 20

Дано: α, ABCD - трапеция, MN - средняя линия; MN ∈ α (рис. 7).

Доказать: Пересекает ли ВС и AD плоскость α.

Доказательство: 1. Пусть ВС и α пересекаются, тогда если ВС пересекается с α и ВС параллельна М N, то М N пересекается с  α. Получили противоречие, так как М N∈ α, следовательно ВС не пересекается с α. Аналогично доказывается, что АD не пересекается с α . 

V. Домашнее задание.

П. 6 - выучить определение и теоремы, решить № 18 (a), 19, 21.

VI. Итог урока .

Сформулировать определение параллельных прямой и плоскости, теоремы. Выставление отметок.