Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых и плоскостей

Выполнила учитель математики: Мочалина Е. Л.

Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых, прямой и плоскости.

Теорема:

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой , проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Определение:

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются .

α

b

а

м

с

а

b

α

d

Параллельность трёх прямых

Е

с

D

F

С

b

а

а

В

A

Лемма:

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельность прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

а ) прямая лежит в плоскости

в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

В

A

α

Определение :

б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

а

M

α

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости .

а

b

α

Существуют два утверждения:

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости .

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми .

Определение:

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

D

С

В

А

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

b

С

а) Прямые пересекаются , т.е. имеют только одну общую точку.

б) Прямые параллельны , т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются.

в) Две прямые скрещиваются , т.е. не лежат в одной плоскости.

а

а

b

а

b

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

А

С

В

D

Углы с сонаправленными сторонами

Теорема

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

А

О

В

М

К

Н

Параллельность плоскостей

Определение

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ß

а

ß

α

α

b

Теорема

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны .

ß

М

а

α

Свойства параллельных плоскостей

°

1 . Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

2 . Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

а

α

b

ß

°

ß

С

А

α

D

В