Особенности работы над нестандартными задачами в начальной школе.

Особенности работы с нестандартными задачами

на уроках математики.

Известно, что решение задач представляет трудность в обучении. Особенно труден этап анализа текста задачи. Но так как эта работа обязательная часть урока математики, а всякое трудное действие вызывает у детей неприятие, то, для поддержания интереса необходимо разнообразить виды деятельности, пробудить заинтересованность, удивление. Поэтому того обязательного минимума задач, который предусмотрен действующими учебниками, бывает недостаточно. Дети на протяжении определенного отрезка времени мыслят по шаблону, перейти на новый тип задачи им бывает трудно. И тут нам на помощь приходят нестандартные задачи. Поддерживая интерес к таким заданиям, мы воспитываем интерес к математике как к науке. Решать нестандартные задачи желательно ежедневно, так как они развивают умение анализировать, сравнивать, классифицировать, необходимое не только на уроках математики, развивают творческие способности. Решение нестандартных задач это искусство, которым можно владеть лишь в результате глубокого постоянного анализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач. Нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий. Включая нестандартные задачи в урок, необходимо помнить, что они должны соответствовать теме урока или серии уроков и возрастным особенностям детей.

Нестандартные задачи по математике, используемые в начальной школе, условно можно разделить на следующие группы:

• задачи на взвешивание

• задачи на переливание;

• задачи, решаемые с «конца»;

• задачи на установление взаимно-однозначного соответствия между множествами;

• задачи о лжецах;

• задачи о переправах;

• задачи, решаемые с помощью логических выводов и т.д.

Способы решения логических задач:

• способ рассуждений;

• способ составления таблиц;

• способ построения графов;

• способ  кругов Эйлера;

• арифметический;

• алгебраический;

• способ предположений

Задачи на взвешивание – достаточно распространенный вид математических задач.  В таких задачах от решающего требуется выделить отличающийся по весу предмет за ограниченное число взвешиваний.

        Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения  не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задача:

Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

Решение:

Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты.

Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов.

Возможны два варианта:

1.Равновесие.

     Тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди  тех монет, которые не взвешивались.

2.Одна из кучек легче.

          Значит в ней фальшивая монета.

Второе взвешивание: теперь требуется найти фальшивую среди трёх монет (по методу первого взвешивания).

   Задача.

На одной чаше весов арбуз и гири в 3 кг и в 1 кг. На другой чаше весов – гиря в 10 кг. Весы находятся в равновесии. Какова масса арбуза?

        Способы решения задачи:

1). Арифметический

1). 3+1=4(кг) – масса двух гирь на чаше весов с арбузом.

2). 10-4=6(кг) – масса арбуза.

Ответ: 6 кг.

2). Алгебраический:

Пусть х (кг) – масса арбуза.

Тогда (х+3+1) кг – масса левой чаши весов.

10 кг – масса правой чаши весов.

Весы находятся в равновесии.

х+3+1=10

х+4=10

х=10-4

х=6

6 (кг) – масса арбуза.

3). Метод предположений:

1). Допустим, что масса арбуза 1 кг. Тогда 1+3+1=5 (кг) – масса на левой чаше. 5

2). Допустим, что масса арбуза 2 кг. Тогда 2+3+1=6 (кг) – масса на левой чаше. 6

3). Допустим, что масса арбуза 3 кг. Тогда 3+3+1=7 (кг) – масса на левой чаше. 7

4). Допустим, что масса арбуза 4 кг. Тогда 4+3+1=8 (кг) – масса на левой чаше. 8

5). Допустим, что масса арбуза 5 кг. Тогда 5+3+1=9 (кг) – масса на левой чаше. 9

6). Допустим, что масса арбуза 6 кг. Тогда 6+3+1=10 (кг) – масса на левой чаше. 10 = 10, что  соответствует условию. Значит, масса арбуза 6 кг.

Ответ: 6 кг.

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных ёмкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задача:

В восьмилитровом бидоне находится молоко. Как при помощи пятилитрового бидона и трёхлитровой банки отмерить 4 литра молока?

Решение:

 В первый сосуд входит 12 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 8л. Как разделить воду на две равные части?

    Решение:

Задача решена. Воду разделили на две равные части.

Задачи  на установление  взаимнооднозначного соответствия между множествами

Многие логические задачи  связаны с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым количеством элементов, между которыми имеются некоторые зависимости.           Требуется установить взаимнооднозначное соответствие между элементами данных множеств. Решение задач такого типа оформляется в виде таблицы. Элементы одного множества располагаются по строкам, другого – по столбцам. Если по условию задачи между элементами множеств есть соответствие, то в клетке на пересечении данных строки и столбца ставится «плюс», в случае отсутствия зависимости – «минус». Рассмотрим этот метод на примере конкретных задач.

Задача:

Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные фигуры. Кто-то вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то круг из бумаги в линейку, кто-то квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадрат из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги. Галя и Валя вырезали круги. Галя и Наташа вырезали из бумаги в клетку. Наташа и Маша вырезали квадраты. Кто что вырезал?

Решение:

 В трех мешках находится рис, мука и сахар. На первом мешке написано «рис», на втором «мука». На третьем – «в первом мешке мука». Все надписи неверные. Что находится в каждом мешке?

Решение задачи.

Ответьте на следующие вопросы.

а) Какие множества рассматриваются в задаче?

б) Какое соответствие установлено между ними?

в) Каковы условия задачи?

г) Какие следствия можно вывести из этих условий?

Данную задачу можно решить при помощи графа. Для этого элементы заданных множеств изображают точками, а соответствия между ними – отрезками. Если между элементами множеств нет рассматриваемого соответствия, то их соединяют штриховыми линиями.

Для установления взаимно-однозначного соответствия между множествами, которые рассматриваются в данной задаче, можно воспользоваться таблицей.

Таблица

Выделяем условия задачи. Их три:

(1) Неверно, что в первом мешке рис.

(2) Неверно, что во втором мешке мука.

(3) Неверно, что в первом мешке мука.

Из этих условий выводим следствия и отмечаем результаты в таблице с помощью знаков «+» и «–». Так как соответствие между множествами взаимно-однозначное, то в каждой строке и каждом столбце таблицы обязательно должен быть знак «+», и он должен быть только один.

Из условия (1) данной задачи следует, что в первом мешке риса нет, поэтому в соответствующей клетке таблицы 8a ставим «–». Из условия (2) следует, что во втором мешке нет муки, поэтому в соответствующей клетке ставим «–». Из условия (3) следует, что в первом мешке нет муки, поэтому ставим в соответствующей клетке «–».

Таблица

Но так как в первом мешке нет ни риса, ни муки, то в этом мешке – сахар. Ставим в соответствующую клетку таблицы 8б «+». Из утверждения «В первом мешке сахар» следует, что сахара нет ни во втором, ни в третьем мешке. А так как во втором мешке нет ни муки, ни сахара, то в нем – рис. Аналогично рассуждая, устанавливаем, что в третьем мешке мука. В результате имеем такую картину.

Таблица

Таким образом, в первом мешке находится сахар, во втором – рис, а в третьем – мука.

Задачи, решаемые с «конца».  Выделение данных задач в отдельную группу связано со способом рассуждения при решении, которое выполняется с «конца» задачи. В математической литературе он назван методом инверсии.  

  Простейшим примером такой стратегии может служить игра в  лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша.

 Задача:

Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст  части трем стражам, у него осталось одно яблоко?»

Решение:

(1+1)*2=4 – третьи ворота

(4+1)*2=10 – вторые ворота

(10+1)*2=22 – первые ворота

Надо собрать 22 яблока.

 Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Решение.
Решаем задачу с конца:
1) 2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7.
2) (14 + 6) : 4 = 5 – число до умножения на 4.
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3.
4) 15 – 5 = 10 – искомое число.
Ответ: задумано число 10.

Помните, что решение задач - есть вид творческой деятельности, а поиск решения - процесс изобретательства. В умении решать нестандартные задачи входят моральные качества: настойчивость, терпение, воля к победе.