Основные приемы решений тригонометрических уравнений

Основные приёмы решений тригонометрических уравнений.

Сопоставьте следующие колонки таблицы:

Решить уравнения:

1).

Решение :

Ответ :

2).

Решение:

Ответ:

3)

Решение:

ООУ:

Ответ:

Метод введения вспомогательной переменной.

№ 1.

Решение :

Замена:

Не имеет решений

Ответ :

№ 2 .

Решение :

Воспользуемся формулой:

Получаем:

Не имеет решений

Ответ:

Метод разложения на множители.

.

№ 3.

Решение:

О.О.У.:

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

Данное решение не удовлетворяет О.О.У.

Ответ:

№ 4

Решение :

Воспользуемся формулой разности косинусов:

Не имеет решений

Ответ:

Однородные уравнения.

№ 5

- однородное уравнение 1-ой степени

Решение:

Тогда и sin x = 0, получим систему:

Пусть

данная система не имеет решений

Следовательно, cos x = 0 не является корнем данного уравнения и обе части уравнения можно поделить на cos    x , т.к. при этом не произойдёт потери корней.

Разделим обе части уравнения на, Это можно сделать, т.к.

Получим уравнение

Ответ:

№ 6 3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2  x  = 2

Решение:

3sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x  + 5 cos  2  x  = 2 sin  2   x  + 2 cos  2  x

Переносим все члены уравнения в одну часть:

sin  2   x  + 4 sin  x  · cos  x + 3 cos  2  x  = 0

данная система не имеет решений

Следовательно, cos x = 0 не является корнем данного уравнения и обе части уравнения можно поделить на cos  2  x , так как при этом не произойдет потеря корней.

Разделим обе части уравнения на cos 2 x 0.

Получим уравнение

tg 2 x + 4tg x + 3 = 0

Делаем замену tg x = t

t 5 + 4t + 3 = 0

t 1 = -1, t 2 = -3

tg x = -3

tg x = -1

Ответ:

Неоднородные уравнения.

№ 7

Решение:

Поделим обе части уравнения на

Получим уравнение

, т.е. имеем уравнение

Замечаем, что

Применяем формулу синуса разности:

Ответ:

Решение:

Поделим обе части уравнения на

Получим уравнение

Замечаем, что

, т.е. имеем уравнение:

В данном случае синус и косинус имеют нетабличные значения, поэтому получается очень некрасивое уравнение. Тогда для решения этого уравнения лучше воспользоваться следующим способом.

№ 8

Решение:

Разделим обе части уравнения на т.к. в этом случае не

произойдет потери корней.

Ответ: