Основные понятия тригонометрии

Основные понятия тригонометрии

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Пусть одна сторона угла α с вершиной в начале координат O идёт по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определённому числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. В самом деле: Обозначение радиана – «рад». Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол

Можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:

и от радианного измерения к градусному:

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад пишут просто 180° = π.

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения

1

Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором равен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором равен Пусть координаты радиус-вектора будут (x; y), а координаты радиус-вектора будут (x'; y'). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора станет ординатой радиус-вектора и наоборот. Следовательно, x = y', y = x'. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора

Так как x = y' и y = x', то получаем:

Рассмотрим радиус-вектор угол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

Отсюда легко получить, что

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах и угол α на –α. Имеем

Итак, доказано, что

Выполним следующие преобразования:

Итак,

Аналогично доказываются формулы:

Из последних формул следует, что

Учтём теперь, что

Тогда из вышеприведённых формул следует:

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

Таблица 2.4.2.1

Пример 1

Упростите выражение:

Решение

Имеем: Ответ: 2 cos x.

Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

2

Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

Но OA = 1,  OC = cos α,  CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Разделим основное тригонометрическое тождество на Получим:

Из определений тангенса и котангенса следует:

Пример 2

Найдите sin x  и  cos x, если и

Так как то sin x x

Пример 3

Упростить выражение:

Формулы сложения

3

Пример 4

Упростите выражения:

1)

2)

Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.

sin 2α = 2 sin α cos α;

Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента.

Совершенно аналогично получается формула

Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 5

Вычислите tg x, если

Пример 6

Упростите выражение

Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла

следуют формулы понижения степени:

Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на то получатся формулы половинного аргумента:

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

Совершенно аналогично получается формула

Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения:

Сложим их:

Вычтем их:

Если рассмотреть две другие формулы сложения:

и сложить их, то получится

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что и и последняя формула имеет вид

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение.

Пример 7

Упростите выражения

1)

2)

Имеем: 1) 2) Ответ. 1) 2) 1.