Определение производной. Алгебра 10

Определение производной

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

§27. Определение производной.

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Устные упражнения

Найдите тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс и угловой коэффициент этой прямой

у

5

Ответ : tgα = 0,6; k = 0,6.

α

2

α

х

6

1

О

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Устные упражнения

Найдите тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс и угловой коэффициент этой прямой

у

5

Ответ : tgα = -0,6; k = -0,6.

2

α

х

6

1

О

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Определение 2 (§26)

∆ х = х 1 – х 0 – приращение аргумента

∆ y = f(x 0 + ∆х) - приращение функции

у

у = f(x)

P

f ( х 0 + ∆x )

∆ y

M

f ( х 0 )

х

х 1

х 0

О

∆ x

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 1 ( о скорости движения)

∆ s

s = s(t)

х

М

P

OM = s(t)

О

OP = s(t + ∆t)

MP = OP – OM = s(t + ∆t) – s(t) = ∆s

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задача 2 (о касательной к графику функции).

k сек. = tg β

у

у = f(x)

f ( a + ∆x )

P

∆ y

M

β

f ( a )

α

β

a+ ∆x

k кас. = tg α

a

х

О

∆ x

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

2. Определение производной.

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Определение.

у

у = f(x)

f ( х 0 + ∆x )

P

∆ y

M

f ( х 0 )

х

х 0

х 1

О

∆ x

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Физический смысл производной

s = s(t)

х

М

О

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Геометрический смысл производной

у

у = f(x)

M

α

а

х

О

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Алгоритм нахождения производной функции у = f(x)

• Зафиксировать значение х, найти f(x).
• Дать аргументу приращение Δх, перейти в новую точку х + Δх, найти f(x + Δх).
• Найти приращение функции Δу = f(x + Δх) - f(x).
• Составить отношение
• Вычислить

Этот предел и есть f’(x).

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

3. Примеры применения геометрического смысла производной.

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

• Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
• Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
• Если
• Если

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

• Если функция имеет производную в точке, то функция называется дифференцируемой в этой точке и является непрерывной в этой точке.
• Непрерывность не означает дифференцируемость. ()
• Дифференцируемость всегда говорит о непрерывности

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

№ 27.11

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ : 4.

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Задания ЕГЭ из банка ФИПИ

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ : 1

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Ответ : -1

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Т к касательная проходит через точку (8:10), а её уравнение имеет вид , то получаем

А так как

, то

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. А так как касательная параллельна прямой , то получаем, что

Осталось найти количество точек, в которых производная принимает значение 2. По графику видно, что таких точек одна.

Ответ: 5

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. А так как касательная параллельна прямой , то получаем, что

Осталось найти количество точек, в которых производная принимает значение 3. По графику видно, что таких точек две.

Ответ: 2

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Черноволова Елена Викторовна Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина