Олимпиадные задачи по математике для 9 класса

Математика, 9 класс, школьный этап

Время выполнения – 4 часа

Каждая задача оценивается в 7 баллов.

1. Числа от 1 до 30 разбили на пары, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее количество из этих 15 сумм может делиться на 11?

1. Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить как разность двух трёхчленов, каждый из которых не имеет корней.

1. Найдите все такие тройки чисел (x, y ,z), что сумма любого числа из тройки и произведения двух оставшихся чисел равна 2.

1. a, b, c – натуральные числа такие, что ab + 9b + 81 и bc + 9c + 81 делятся на 101. Докажите, что тогда и ca + 9a + 81 тоже делится на 101.

1. Четырёхугольник ABCD, диагонали АС и BD которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром О. Докажите, что ломаная АОС делит его на две части равной площади.