Олимпиадные задачи по математике для 8 класса

Математика, 8 класс, школьный этап

Время выполнения – 4 часа

Каждая задача оценивается в 7 баллов.

1. По кругу выстроились лжецы и рыцари. И те и другие есть. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый заявил, что один из его соседей – лжец, а другой – рыцарь. Может ли в кругу стоять ровно 2014 островитян?

1. На вечеринке собралось 10 человек. Фотограф сделал несколько фотографий так, что каждая пара человек появилась вместе ровно на одной фотографии. На каждой фотографии сфотографированы либо трое, либо двое из присутствующих. Докажите, что всего сделано не менее 17 фотографий.

1. Докажите, что для любого натурального числа N можно выбрать два целых числа, среднее арифметическое квадратов которых на 1 больше, чем N².

1. Можно ли произвольный треугольник разбить на 5 меньших треугольников и провести в каждом из них по биссектрисе так, чтобы все биссектрисы были параллельны одной прямой?

1. Компьютер печатает числа одно за другим по следующему алгоритму: вначале печатаются три натуральных числа, введенных с клавиатуры (все они больше 100), а затем каждую секунду компьютер складывает три последних напечатанных им числа и печатает полученную сумму. Может ли компьютер напечатать восемь простых чисел подряд?