«Однородные тригонометрические уравнения» 10класс.

Учитель математики МБОУ СОШ № 49,г. Новокузнецка

Сухова Людмила Васильевна

Тема урока: «Однородные тригонометрические уравнения» 10класс.

Тип урока: сознательное усвоение нового материала.

Ход урока

I.Организационный момент.

Учитель сообщает цели урока, проводит вводную беседу. ( В течение 5 уроков мы с вами решали тригонометрические уравнения, используя различные методы их решения). Выяснили, что правильно выбранный метод позволяет упростить решение. Сегодня мы познакомимся с еще одним видом тригонометрических уравнений, а пока перед вами стоит задача – показать свои знания и умения в решении тригонометрических уравнений.

II. Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Устная работа.

А) Какое уравнение мы называем тригонометрическим?

Б) Назовите алгоритм решения уравнения cost = а?

1. Проверить условие | a | ≤ 1

2. Отметить точку, а на оси абсцисс.

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью

5. Полученные точки – решение уравнения cost = a.

6. Записать общее решение уравнения:

t = arccosa +2, k.

7. Какие особые случаи решения уравнения вы знаете?

а) cost=1, t= 2 , б) cost= -1, t= + 2 cost = 0, t =

8. Если, а отрицательное число, как записать решение этого уравнения?

t = ( - arccosa) +2, k.

В. Назовите алгоритм решения уравнения sin t = а?

1. Проверить условие | a | ≤ 1

2. Отметить точку, а на оси ординат.

3. Построить перпендикуляр в этой точке.

4. Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью

5. Полученные точки – решение уравнения . sint = a.

6. Записать общее решение уравнения.

t₁ = arcsina +2, k.

t₂ = - arcsina +2,объединяя эти решения имеем:

t = (-1)^k arcsina +,

7. Какие особые случаи решения уравнения вы знаете?

а) sint=1 t= б) sint = -1, t= -в) sint=0 t=n

8. Если а отрицательное число, как записать решение этого уравнения?

t = (-1)^k+1 arcsina +, k.

III.Устно:

Решить уравнения:

а)sin x =; б)2sin x =2; в)sin 2x =0; г)3cosx = -3; д) tgx =1; е) cosx= 2,5.

Вычислить: arccos; : arcos(-); : arccos; : arccos1 ; arcsin;

arcsin(-); arctg1; arctg(-).

Имеют ли смысл выражения:

а) arccos 5; arccos ; arctg3; arcsin(-2); arcсtg(-7).?

IV. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

Расскажите способ решения уравнения:

а). 2 sin² x +5 sin x -3 =0 (Замена на sin x =а, где IaI 1)

б). 3tgx +5ctgx -8=0 (ctgx заменяем на tgx и сводим к квадратному)

в). 2sin ²x +5cosx +1=0 (sin ²x заменяем через 1- cos² x, и сводим к квадратному)

г).(tgx-)(cosx-1)=0 (разложением на множители)

д). cos² x os²x -3 cosx =0. (разложением на множители).

е). 5 sin x + 2cosx =0

Какое уравнение вызывает трудность?(е)

Сегодня мы познакомимся с еще одним видом тригонометрических уравнений, которые получили специальное название.

V. Этап усвоения новых знаний:

Открыли тетради, записали число и тему урока: «Однородные тригонометрические уравнения»

Уравнение: 5 sin x + 2cosx =0 получило специальное название.

Рассмотрим решение данного уравнения.

Разделим почленно обе части уравнения на cosx0, имеем

5tgx +2 =0; tgx = 0,4; х = -arctg0,4 +k, kz

VI. Закрепление нового материала :

Рассмотреть у доски решение уравнений:

а) sin x + cosx =0 б) sin2 x - cos2x =0

VII. Этап проверки понимания учащимися нового материала:

Как вы думаете, будет ли однородным уравнение :

1. sin 2x +cos2x =0

2. sin x + cosx = 2

3. sin² x - 3sin x cosx +2cos²x =0( да будет, т.к. каждый член этого уравнения имеет вторую степень) Как будем решать данное уравнение?( Делением на cos²x 0)

sin² x - 3sin x cosx +2cos²x =0

tg² x - 3tgx +2 =0 , а₁ =2 и а₂ =1, tgx=2; х = arctg2 +z

tgx =1, х = arctg1 +z; x =,.

Решить у доски еще одно уравнение: 3sin² 2x +sin 2x cos2x – 2cos² 2x =0

3tg²2x +tg2x -2 =0 , а₁ = и а₂ =-1, tg2x=; 2х = arctg +z ,

х = arctg +, tgx =-1, x =-,.

VIII. Этап всесторонней проверки знаний:

Самостоятельная работа в форме тестированного контроля.

Дифференцированные задания по двум вариантам. ( учащимся предлагается выбрать правильный ответ). Подведение итогов на экране.

Самостоятельная работа

Разобрать решение уравнения:

5sin² x -14 sin x cosx – 3cos²x =2 (представим 2(sin² x + cos²x) в виде суммы квадрата тригонометрических функций)

5sin²x -14 sin x cosx – 3cos²x =2

5sin²x -14 sin x cosx – 3cos²x =2 (sin² x + cos²x)

3sin² x - 14sin x cosx -5cos²x =0/ cos²x

3tg² x - 14tgx -5 =0; а₁ =5 и а₂ =-, tgx =5; х = arctg5 +z

tgx =-, х = -arctg +z;

Ответы к самостоятельной работе:

IX. Подведение итогов, выставление оценок.

1. C каким видом уравнения мы познакомились на этом уроке?

2. Какие уравнения мы называем однородными?

3.Расскажите, как решаются однородные уравнения?

4. Как вы думаете, почему мы так много решаем тригонометрических уравнений?