О методике решении задач с помощью геометрических преобразований

О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Останов К.

1. Метод симметрии. Требуемая для построения фигура может иметь симметрические точки относительно прямой или точки. А этом случае необходимо выполнить симметрическое преобразование относительно прямой или точки[1].

Пример 1. Пусть нам дан угол АВС и внутри точка О. Требуется провести прямую делящий в точке О отрезок его между сторонами данного угла.

Решение. Анализ. Предположим, что задача решена и MN-искомая прямая (рис.1).

Рис.1

Принимаем точку О как центр симметрии. Тогда точки М и N будет симметричным относительно точки О. Пусть прямая АВ симметрично прямой АВ относительно точки О. Так как точка М является точкой, симетричной, точке N принадлежащей прямой АВ то прямая АВ должна проходит через точку М. Таким образом, точка М должна быть точкой пересечения прямых ВС и АВ.

Построение.1) Построим прямую АВ симметричной прямой АВ, относительно точки О (для этого найдем точку А симметричной точке А и точку В симметричной точке В относительно точки О); 2) Найдем точку М пересечения прямых ВС и АВ и ее соединим с точкой О. Тогда прямая MN будет искомым прямым. Доказательство вытекает из анализа и построения и поэтому его не приводим.

Исследование. Из анализа и построения видно, что задача всегда имеет только одно решение.

2. Метод параллельного переноса. При параллельном переносе некоторые отдельные части искомой фигуры параллельно переносится с целью для получения новой фигуры, допустимой к построению[2].

Пример 2. Построить трапецию по его основаниям и диагоналям.

Решение. Анализ. Допустим, что задача решена и построена трапеция АBCD. Диагональ BD так параллельно переносим, его вершина В совпала с вершиной С. Теперь у треугольника АСD все стороны известны: две из них являются диагоналями трапеции, третья сторона – сумма его оснований. Отсюда вытекает следующий алгоритм построения.

Построение. 1) По условиям задачи сначала построим треугольник

ACD₁;2) Построим точку D (AD- известная сторона трапеции); 3). Через точку С проведем прямую, параллельной прямой СD₁. Они пересекаются в точке В. Построенная трапеция АВСD имеет данные основания и диагонали. Доказательство вытекает из анализа и построения.

Исследование. Задача имеет решение только при возможности построения треугольника АСD₁. Это возможно только, в том случае когда выполняются условия d₁-d₂₁+d₂, здесь a, b- основания трапеции, d₁ и d₂ – диагонали трапеции. Тогда AD₁ =a+b, AC=d₁ , CD₁=d₂. Условие вытекает из неравенства треугольника.