Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Четырёхугольники.

Многоугольник.

Прежде, чем ввести понятие многоугольника, рассмотрим геометрическую фигуру, состоящую из отрезков. Расположим отрезки так, чтобы начало одного отрезка совпадало с концом другого.

Таких отрезков может быть бесконечно много.

Определение. Ломаной называется геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная называются звеньями ломаной, а концы этих отрезков – вершинами ломаной. Обозначается ломаная по своим вершинам. На рисунке сверху изображена ломаная или . У неё точки и – вершины, а отрезки – звенья. Соседние звенья называются смежными. и – смежные; и – смежные, и т.д.

Определение. Длиной ломаной называется сумма длин всех её звеньев.

На рисунке длина ломаной равна:

Существует две группы ломаных: замкнутые и незамкнутые.

О пределение. Замкнутой называется ломаная, у которой её начало и конец совпадают.

– замкнутая ломаная. У неё точка является и началом и концом.

Замкнутые ломаные также разделяются на две группы:

• ломаные без самопересечения (когда несоседние звенья не пересекаются);

• ломаные, имеющие самопересечение (когда несоседние звенья пересекаются).

Не соседние звенья и , на рисунке слева, пересекаются. В таком случае говорят, что ломаная имеет самопересечение. На рисунке справа ломаная не имеет самопересечений.

Определение. Многоугольником называется замкнутая ломаная, не имеющая самопересечений.

Д ругими словами: если не соседние звенья ломаной не пересекаются, то это многоугольник. Звенья такой ломаной являются сторонами многоугольника, вершины ломаной – вершинами многоугольника, а длина ломаной является периметром многоугольника. Сторон у многоугольника может быть очень много, и, если нам точно не известно, сколько их, то говорят, что это -угольник и сторон у него .

Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.

В многоугольнике из вершины выходят три диагонали: . Из каждой следующей вершины будут выходить также по три диагонали. Назовите их.

Л юбой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

Выпуклый многоугольник.

Рассмотрим два вида многоугольников.

Визуально видно, что в них есть принципиальная разница. В чём она? Приложите линейку к любой стороне красного многоугольника. Вы заметили, что весь многоугольник находится по одну сторону от линейки. Попробуйте это сделать со всеми остальными сторонами. Многоугольник всё также расположен по одну сторону от линейки.

Теперь перейдём к зелёному многоугольнику и проделаем то же самое: приложим линейку к каждой стороне. Тут вы должны заметить, что существуют две стороны, к которым прикладываем линейку и многоугольник делится на две части. В этом и есть принципиальная разница между этими двумя многоугольниками.

Определение. Выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

В ыпуклый многоугольник можно ещё определить так: это многоугольник, все диагонали которого лежат внутри многоугольника. Если в зелёном многоугольнике провести диагональ через две верхние вершины, то она окажется за пределами самого многоугольника. Поэтому, зелёный многоугольник не является выпуклым. Он называется невыпуклым.

Любой выпуклый многоугольник (кроме треугольника) можно разделить на треугольники его диагоналями. Выясним на примере нескольких многоугольников, сколько можно провести диагоналей из каждой вершины, и сколько получается треугольников.

Заметьте, в каждом многоугольнике количество его вершин отличается от количества полученных треугольников на одно и то же число: на 2. Такая зависимость будет сохраняться для любых выпуклых многоугольников. Если обозначить количество вершин буквой , то количество треугольников, полученных после проведения диагоналей из одной вершины, можно записать так: .

Теперь рассмотрим сумму внутренних углов многоугольника на примере четырёхугольника.

Сумма внутренних углов четырёхугольника равна: . По рисунку видно, что углы и разделены на два угла, значит, , а . Тогда, в сумму всех углов, вместо углов и подставим равные им суммы:

В этом равенстве в первой скобке записана сумма углов треугольника , а во второй скобке – сумма углов треугольника . Мы выяснили, что для того, чтобы найти сумму углов четырёхугольника, нужно умножить на , где – это количество треугольников.

Чуть выше мы выяснили, что количество треугольников в многоугольнике записывается в виде , значит, сумма углов четырёхугольника равна . Эта формула верна для всех выпуклых многоугольников. Проверьте самостоятельно её для пятиугольника, шестиугольника.

п. 42. Четырёхугольник.

Определение. Четырёхугольником называется геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Также, как и многоугольники, четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый четырёхугольник называется простым. Именно такие четырёхугольники мы и будем изучать.

На рисунке а) показан выпуклый четырёхугольник, а на рисунке б) – невыпуклый.

Итак, четырёхугольник имеет:

• 4 вершины;

• 4 стороны;

• по 2 диагонали из каждой вершины.

Две не смежные стороны, также как и две не смежные вершины, четырёхугольника называются противоположными.

На рисунке а) противоположные стороны: и , и ; противоположные вершины: и , и .

Выпуклые (простые) четырёхугольники разделяются на виды:

1. Параллелограмм.

2. Прямоугольник.

3. Квадрат.

4. Ромб.

5. Трапеция.

6. Произвольный четырёхугольник.

Каждый из этих видов мы будем изучать отдельно.

1. Н
   а рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

2. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

3. Н
   а рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

4. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

5. Н
   а рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

6. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

7. Н
   а рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

1. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

1. В четырёхугольнике все стороны равны, а треугольник равносторонний. Найдите периметр пятиугольника , если периметр четырёхугольника равен см.

1. В четырёхугольнике все стороны равны, а треугольник – равносторонний. Найдите периметр многоугольника , если периметр четырёхугольника на см больше периметра равностороннего треугольника .

1. Треугольник – равносторонний и его периметр равен см. Найдите периметр многоугольника , если периметр шестиугольника в два раза больше периметра равностороннего треугольника .

1. В четырёхугольнике все стороны равны, а треугольник – равносторонний. Найдите периметр пятиугольника , если периметр треугольника равен см.

1. Дан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

1. Д
   ан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

2. Д
   ан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

1. Д
   ан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

2. Найдите сумму углов выпуклого пятиугольника.

3. Найдите сумму углов выпуклого шестиугольника.

4. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

5. Найдите сумму углов выпуклого восьмиугольника.

6. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

7. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

8. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

9. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

10. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

11. Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

12. Сумма внутренних углов многоугольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

13. Сумма внутренних углов многоугольника в два раза больше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

14. Сумма внутренних углов многоугольника в три раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

15. Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внутренние углы прямые.

16. Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые.

17. Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы острые.

18. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен ?

19. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен ?

20. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внешний угол больше ?

21. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внешний угол больше ?

22. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внутренний угол меньше ?

23. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внутренний угол меньше ?

24. Периметр четырёхугольника равен 132 см, а одна из сторон больше каждой из других соответственно на см, см, см. Найдите стороны четырёхугольника.

25. Найдите стороны четырёхугольника, если они относятся как числа , а периметр четырёхугольника равен см.

26. В выпуклом пятиугольнике вершина соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что . Докажите, что периметры четырёхугольников и равны.

27. Дан выпуклый девятиугольник с равными углами. Найдите эти углы.

28. В выпуклом четырёхугольнике . Докажите, что .

29. В выпуклом четырёхугольнике углы при вершинах и равны и . Найдите угол между биссектрисами углов при вершинах и .

30. В выпуклом четырёхугольнике угол между биссектрисами углов при вершинах и равен . Найдите углы и , если известно, что они равны.

4