Методичка по теме Логарифмы

УО «Полесский государственный аграрный колледж имени В.Ф. Мицкевича»

Материалы для самостоятельной работы учащихся

по дисциплине «Математика».

Тема

«Логарифм числа.

Логарифмическая функция.

Решение логарифмических уравнений

и неравенств»

г. Калинковичи

Краткие теоретические сведения

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Основное логарифмическое тождество

Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение и называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства:

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число e приблизительно равно 2,7. Более точное выражение:

однако само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение и название натуральный логарифм. Среди свойств числа e, в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°.

Основные свойства логарифмов

При любом а 0 (а≠1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм: где e = 2,71828

Логарифмическая функция

Функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел

2. Область значений – множество всех действительных чисел

3. При а 1 логарифмическая функция на всей области определения возрастает.

При 0

убывает

Графики логарифмической функции

Решение логарифмических

уравнений и неравенств

Рассмотрим простейшее логарифмическая уравнение . Логарифмическая функция возрастает ( или убывает) на промежутке (0; ∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне отсюда следует, что для любого b данное уравнение имеет и при том только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что является решением уравнения.

Методы решения логарифмических уравнений

1. , a 0, a ≠ 1 

2. , a 0, a ≠ 1 

3. 

4. Для перехода к простейшим уравнениям используются методы разложения на множители, замены переменных, переход к одному основанию, функциональные и оценочные методы.

Методы решения логарифмических неравенств

1. 

2. 

Полезные соотношения



Образцы решений

Пример 1

Вычислите 1) 2) 3)

Решение

Пример 2

Вычислите 1) ; 2) .

Решение

Пример 3

Вычислите 1) 2)

Решение

Пример 4

Вычислите если

Решение

Уравнения вида log_a f (x) = b, a  0, a ≠ 1

Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = a^b. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a^b – это число.

Уравнения вида 

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

• С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

• Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.

а)

Корень последнего уравнения с учётом ограничения x  1 есть x = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.

Пример 6

Решите уравнение

Решение

Уравнения вида log_a f (x) = log_a g (x), a  0, a ≠ 1

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x)  0 или g (x)  0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log_a f (x) = log_a g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x)  0 и g (x)  0.

Пример 7

Решите уравнение

Решение

Пример 8

Решите уравнение

Решение

Рассмотрим теперь неравенство и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x)  0.

Если a  1, то тогда и только тогда, когда f (x)  1 в ОДЗ (f (x) 

Если 0 a  тогда и только тогда, когда f (x) f (x)  1), то есть опять

Верно и обратное, если то при a  1 имеем f (x)  1 в ОДЗ (f (x) a f (x) f (x)  1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.

Отсюда следует, что:

Рассмотрим теперь неравенство вида где ОДЗ этого неравенства:

Перепишем данное неравенство в виде:

С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:

Пример 9

Решите неравенство

Решение

Пример 10

Решите неравенство

Решение

Варианты заданий по уровням

Уровень 1

Решите уравнения и неравенства

Уровень 2

Решите уравнения и неравенства

Уровень 3

Решите уравнения и неравенства

Уровень 4

Решите уравнения и неравенства

Уровень 5

Решите уравнения и неравенства